x^-15=2x (уравнение)

Найду корень уравнения: x^-15=2x

Вы ввели

 1       
--- = 2*x
 15      
x        

$$\frac{1}{x^{15}} = 2 x$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{1}{x^{15}} = 2 x$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{16}} = 2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -16 - содержит чётное число -16 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -16-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[16]{\frac{1}{x^{16}}}} = \frac{1}{\sqrt[16]{2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[16]{\frac{1}{x^{16}}}} = \frac{-1}{\sqrt[16]{2}}$$
или
$$x = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
$$x = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^15/16/2

Получим ответ: x = 2^(15/16)/2
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^15/16/2

Получим ответ: x = -2^(15/16)/2
или
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$

Остальные 14 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{16}} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 16 i p}}{r^{16}} = 2$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 16 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(16 p \right)} + \cos{\left(16 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(16 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(16 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$z_{9} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{10} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{11} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{12} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{13} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{14} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{15} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{16} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$x_{7} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$x_{8} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$
$$x_{9} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{10} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{11} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{12} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{13} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{14} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{15} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{16} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

Быстрый ответ

       15 
       -- 
       16 
     -2   
x1 = -----
       2  

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$

      15
      --
      16
     2  
x2 = ---
      2 

$$x_{2} = \frac{2^{\frac{15}{16}}}{2}$$

         15 
         -- 
         16 
     -I*2   
x3 = -------
        2   

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$

        15
        --
        16
     I*2  
x4 = -----
       2  

$$x_{4} = \frac{2^{\frac{15}{16}} i}{2}$$

        7/16      7/16
       2       I*2    
x5 = - ----- - -------
         2        2   

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$

        7/16      7/16
       2       I*2    
x6 = - ----- + -------
         2        2   

$$x_{6} = - \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$

      7/16      7/16
     2       I*2    
x7 = ----- - -------
       2        2   

$$x_{7} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} - \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$

      7/16      7/16
     2       I*2    
x8 = ----- + -------
       2        2   

$$x_{8} = \frac{2^{\frac{7}{16}}}{2} + \frac{2^{\frac{7}{16}} i}{2}$$

        15      ___________      15      ___________
        --     /       ___       --     /       ___ 
        16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
       2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
           \/    2     4            \/    2     4   
x9 = - -------------------- - ----------------------
                2                       2           

$$x_{9} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$

         15      ___________      15      ___________
         --     /       ___       --     /       ___ 
         16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
        2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
            \/    2     4            \/    2     4   
x10 = - -------------------- + ----------------------
                 2                       2           

$$x_{10} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$

       15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x11 = -------------------- - ----------------------
               2                       2           

$$x_{11} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$

       15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - - -----    I*2  *  /   - + ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x12 = -------------------- + ----------------------
               2                       2           

$$x_{12} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$

         15      ___________      15      ___________
         --     /       ___       --     /       ___ 
         16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
        2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
            \/    2     4            \/    2     4   
x13 = - -------------------- - ----------------------
                 2                       2           

$$x_{13} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

         15      ___________      15      ___________
         --     /       ___       --     /       ___ 
         16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
        2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
            \/    2     4            \/    2     4   
x14 = - -------------------- + ----------------------
                 2                       2           

$$x_{14} = - \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

       15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x15 = -------------------- - ----------------------
               2                       2           

$$x_{15} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

       15      ___________      15      ___________
       --     /       ___       --     /       ___ 
       16    /  1   \/ 2        16    /  1   \/ 2  
      2  *  /   - + -----    I*2  *  /   - - ----- 
          \/    2     4            \/    2     4   
x16 = -------------------- + ----------------------
               2                       2           

$$x_{16} = \frac{2^{\frac{15}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{15}{16}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.957603280698574

x2 = 0.957603280698574

x3 = -0.957603280698574*i

x4 = 0.957603280698574*i

x5 = -0.677127773468446 - 0.677127773468446*i

x6 = -0.677127773468446 + 0.677127773468446*i

x7 = 0.677127773468446 - 0.677127773468446*i

x8 = 0.677127773468446 + 0.677127773468446*i

x9 = -0.366458910301801 - 0.884710071303073*i

x10 = -0.366458910301801 + 0.884710071303073*i

x11 = 0.366458910301801 - 0.884710071303073*i

x12 = 0.366458910301801 + 0.884710071303073*i

x13 = -0.884710071303073 - 0.366458910301801*i

x14 = -0.884710071303073 + 0.366458910301801*i

x15 = 0.884710071303073 - 0.366458910301801*i

x16 = 0.884710071303073 + 0.366458910301801*i

График