x^-7*x=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^-7*x=8

Вы ввели

x     
-- = 8
 7    
x     

$$\frac{x}{x^{7}} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{x}{x^{7}} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -6 - содержит чётное число -6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{1}{x^{6}}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{8}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{1}{x^{6}}}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
или
$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = sqrt2/2

Получим ответ: x = sqrt(2)/2
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -sqrt2/2

Получим ответ: x = -sqrt(2)/2
или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{6}} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{6}} e^{- 6 i p} = 8$$
где
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (6 p \right )} + \cos{\left (6 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (6 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (6 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$

Быстрый ответ

        ___ 
     -\/ 2  
x1 = -------
        2   

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

       ___
     \/ 2 
x2 = -----
       2  

$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 6 
x3 = - ----- - -------
         4        4   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 6 
x4 = - ----- + -------
         4        4   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 6 
x5 = ----- - -------
       4        4   

$$x_{5} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 6 
x6 = ----- + -------
       4        4   

$$x_{6} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$

Численный ответ

x1 = -0.707106781186548

x2 = 0.707106781186548

x3 = -0.353553390593274 - 0.612372435695794*i

x4 = -0.353553390593274 + 0.612372435695794*i

x5 = 0.353553390593274 - 0.612372435695794*i

x6 = 0.353553390593274 + 0.612372435695794*i

График