x^-3=343 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^-3=343

Вы ввели

1       
-- = 343
 3      
x       

$$\frac{1}{x^{3}} = 343$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{1}{x^{3}} = 343$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{343}}$$
или
$$x = \frac{1}{7}$$
Получим ответ: x = 1/7

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = 343$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = 343$$
где
$$r = \frac{1}{7}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{1}{7}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{3} i}{14}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{3} i}{14}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{7}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{3} i}{14}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{3} i}{14}$$

Быстрый ответ

x1 = 1/7

$$x_{1} = \frac{1}{7}$$

                ___
       1    I*\/ 3 
x2 = - -- - -------
       14      14  

$$x_{2} = - \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{3} i}{14}$$

                ___
       1    I*\/ 3 
x3 = - -- + -------
       14      14  

$$x_{3} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{3} i}{14}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___              ___
1     1    I*\/ 3      1    I*\/ 3 
- + - -- - ------- + - -- + -------
7     14      14       14      14  

$$\left(\frac{1}{7} + \left(- \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{3} i}{14}\right)\right) + \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{3} i}{14}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

           ___                 
  1    I*\/ 3                  
- -- - ------- /           ___\
  14      14   |  1    I*\/ 3 |
--------------*|- -- + -------|
      7        \  14      14  /

$$\frac{- \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{3} i}{14}}{7} \left(- \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{3} i}{14}\right)$$

=

1/343

$$\frac{1}{343}$$

Численный ответ

x1 = 0.142857142857143

x2 = -0.0714285714285714 - 0.123717914826348*i

x3 = -0.0714285714285714 + 0.123717914826348*i

График