x^5-x=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5-x=0

Вы ввели

 5        
x  - x = 0

$$x^{5} - x = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} - x = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{4}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -4 - содержит чётное число -4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{1}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{1}} \left(-1\right)$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{4}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 4 i p}}{r^{4}} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - i$$
$$x_{4} = i$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

x2 = 0

$$x_{2} = 0$$

x3 = 1

$$x_{3} = 1$$

x4 = -I

$$x_{4} = - i$$

x5 = I

$$x_{5} = i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 1 + 0 + 1 - I + I

$$\left(\left(\left(\left(-1 + 0\right) + 0\right) + 1\right) - i\right) + i$$

=

0

$$0$$

произведение

1*-1*0*1*-I*I

$$i - i 1 \left(-1\right) 0 \cdot 1$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 1.0*i

x2 = -1.0*i

x3 = 0.0

x4 = -1.0

x5 = 1.0

График