x^5+1=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^5+1=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеx 5 + 1 = 0 x^{5} + 1 = 0 x 5 + 1 = 0 Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:( 1 x + 0 ) 5 5 = − 1 5 \sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-1} 5 ( 1 x + 0 ) 5 = 5 − 1 илиx = − 1 5 x = \sqrt[5]{-1} x = 5 − 1 Раскрываем скобочки в правой части ур-нияx = -1^1/5 Получим ответ: x = (-1)^(1/5) Остальные 4 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 5 = − 1 z^{5} = -1 z 5 = − 1 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 5 e 5 i p = − 1 r^{5} e^{5 i p} = -1 r 5 e 5 i p = − 1 гдеr = 1 r = 1 r = 1 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 5 i p = − 1 e^{5 i p} = -1 e 5 i p = − 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 5 p ) + cos ( 5 p ) = − 1 i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1 i sin ( 5 p ) + cos ( 5 p ) = − 1 значитcos ( 5 p ) = − 1 \cos{\left(5 p \right)} = -1 cos ( 5 p ) = − 1 иsin ( 5 p ) = 0 \sin{\left(5 p \right)} = 0 sin ( 5 p ) = 0 тогдаp = 2 π N 5 + π 5 p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5} p = 5 2 π N + 5 π где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = − 1 z_{1} = -1 z 1 = − 1 z 2 = 1 4 + 5 4 + i 5 8 − 5 8 z_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} z 2 = 4 1 + 4 5 + i 8 5 − 8 5 z 3 = − 5 4 + 1 4 − 5 i 5 8 − 5 8 2 − i 5 8 − 5 8 2 z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} z 3 = − 4 5 + 4 1 − 2 5 i 8 5 − 8 5 − 2 i 8 5 − 8 5 z 4 = 1 4 + 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 − 5 i 5 8 + 5 8 4 − i 5 8 + 5 8 4 − i 5 8 − 5 8 4 + 5 i 5 8 − 5 8 4 z_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} z 4 = 4 1 + 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 − 4 5 i 8 5 + 8 5 − 4 i 8 5 + 8 5 − 4 i 8 5 − 8 5 + 4 5 i 8 5 − 8 5 z 5 = − 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + 1 4 − i 5 8 − 5 8 4 + i 5 8 + 5 8 4 + 5 i 5 8 − 5 8 4 + 5 i 5 8 + 5 8 4 z_{5} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} z 5 = − 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + 4 1 − 4 i 8 5 − 8 5 + 4 i 8 5 + 8 5 + 4 5 i 8 5 − 8 5 + 4 5 i 8 5 + 8 5 делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = − 1 x_{1} = -1 x 1 = − 1 x 2 = 1 4 + 5 4 + i 5 8 − 5 8 x_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} x 2 = 4 1 + 4 5 + i 8 5 − 8 5 x 3 = − 5 4 + 1 4 − 5 i 5 8 − 5 8 2 − i 5 8 − 5 8 2 x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} x 3 = − 4 5 + 4 1 − 2 5 i 8 5 − 8 5 − 2 i 8 5 − 8 5 x 4 = 1 4 + 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 − 5 i 5 8 + 5 8 4 − i 5 8 + 5 8 4 − i 5 8 − 5 8 4 + 5 i 5 8 − 5 8 4 x_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} x 4 = 4 1 + 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 − 4 5 i 8 5 + 8 5 − 4 i 8 5 + 8 5 − 4 i 8 5 − 8 5 + 4 5 i 8 5 − 8 5 x 5 = − 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + 1 4 − i 5 8 − 5 8 4 + i 5 8 + 5 8 4 + 5 i 5 8 − 5 8 4 + 5 i 5 8 + 5 8 4 x_{5} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} x 5 = − 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + 4 1 − 4 i 8 5 − 8 5 + 4 i 8 5 + 8 5 + 4 5 i 8 5 − 8 5 + 4 5 i 8 5 + 8 5
График
-15.0 -12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 -200000 200000
/ ___________ ___________\
| / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 |
___ | / - - ----- \/ 5 * / - - ----- |
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 |
x2 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------|
4 4 \ 2 2 / x 2 = − 5 4 + 1 4 + i ( − 5 5 8 − 5 8 2 − 5 8 − 5 8 2 ) x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right) x 2 = − 4 5 + 4 1 + i − 2 5 8 5 − 8 5 − 2 8 5 − 8 5 / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - + ----- \/ 5 * / - - ----- | / ___ / ___
1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
x3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + / - - ----- * / - + -----
4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 x 3 = 1 4 + 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + i ( − 5 5 8 + 5 8 4 − 5 8 + 5 8 4 − 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 ) x_{3} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right) x 3 = 4 1 + 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + i − 4 5 8 5 + 8 5 − 4 8 5 + 8 5 − 4 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___
1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
x4 = - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - / - - ----- * / - + -----
4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 x 4 = − 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + 1 4 + i ( − 5 8 − 5 8 4 + 5 8 + 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 + 5 8 4 ) x_{4} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right) x 4 = − 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + 4 1 + i − 4 8 5 − 8 5 + 4 8 5 + 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 + 8 5 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x5 = - + ----- + I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 x 5 = 1 4 + 5 4 + i 5 8 − 5 8 x_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} x 5 = 4 1 + 4 5 + i 8 5 − 8 5
Сумма и произведение корней
[src] / ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________ | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________ ___________
___ | / - - ----- \/ 5 * / - - ----- | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - + ----- \/ 5 * / - - ----- | / ___ / ___ | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ ___ / ___
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 | 1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 1 \/ 5 / 5 \/ 5
0 - 1 + - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------| + - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + / - - ----- * / - + ----- + - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - / - - ----- * / - + ----- + - + ----- + I* / - - -----
4 4 \ 2 2 / 4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 4 4 \/ 8 8 ( ( ( ( − 1 + 0 ) + ( − 5 4 + 1 4 + i ( − 5 5 8 − 5 8 2 − 5 8 − 5 8 2 ) ) ) + ( 1 4 + 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + i ( − 5 5 8 + 5 8 4 − 5 8 + 5 8 4 − 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 ) ) ) + ( − 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + 1 4 + i ( − 5 8 − 5 8 4 + 5 8 + 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 + 5 8 4 ) ) ) + ( 1 4 + 5 4 + i 5 8 − 5 8 ) \left(\left(\left(\left(-1 + 0\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) ( − 1 + 0 ) + − 4 5 + 4 1 + i − 2 5 8 5 − 8 5 − 2 8 5 − 8 5 + 4 1 + 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + i − 4 5 8 5 + 8 5 − 4 8 5 + 8 5 − 4 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 + − 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + 4 1 + i − 4 8 5 − 8 5 + 4 8 5 + 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 + 8 5 + 4 1 + 4 5 + i 8 5 − 8 5 / ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ |
___________ | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 |
/ ___ | / - - ----- \/ 5 * / - - ----- | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - + ----- \/ 5 * / - - ----- | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- |
/ 5 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 | | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 |
I* / - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------| + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------|
\/ 8 8 \ 2 2 / \ 4 4 4 4 / \ 4 4 4 4 / i ( − 5 5 8 − 5 8 2 − 5 8 − 5 8 2 ) + i ( − 5 5 8 + 5 8 4 − 5 8 + 5 8 4 − 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 ) + i 5 8 − 5 8 + i ( − 5 8 − 5 8 4 + 5 8 + 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 + 5 8 4 ) i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right) + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right) i − 2 5 8 5 − 8 5 − 2 8 5 − 8 5 + i − 4 5 8 5 + 8 5 − 4 8 5 + 8 5 − 4 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 + i 8 5 − 8 5 + i − 4 8 5 − 8 5 + 4 8 5 + 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 + 8 5 / / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\ \ / / ___________ ___________ ___________ ___________\ \
| | / ___ / ___ || | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | | | / ___ / ___ / ___ / ___ | |
| | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 || | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________| | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________| / ___________\
| ___ | / - - ----- \/ 5 * / - - ----- || | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - + ----- \/ 5 * / - - ----- | / ___ / ___ | | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ | | ___ / ___ |
|1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 || |1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 | |1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 | |1 \/ 5 / 5 \/ 5 |
1*-1*|- - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------||*|- + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + / - - ----- * / - + ----- |*|- + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - / - - ----- * / - + ----- |*|- + ----- + I* / - - ----- |
\4 4 \ 2 2 // \4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 / \4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 / \4 4 \/ 8 8 / 1 ( − 1 ) ( − 5 4 + 1 4 + i ( − 5 5 8 − 5 8 2 − 5 8 − 5 8 2 ) ) ( 1 4 + 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + i ( − 5 5 8 + 5 8 4 − 5 8 + 5 8 4 − 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 ) ) ( − 5 8 − 5 8 5 8 + 5 8 + 1 4 + i ( − 5 8 − 5 8 4 + 5 8 + 5 8 4 + 5 5 8 − 5 8 4 + 5 5 8 + 5 8 4 ) ) ( 1 4 + 5 4 + i 5 8 − 5 8 ) 1 \left(-1\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)\right) \left(\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right) \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) 1 ( − 1 ) − 4 5 + 4 1 + i − 2 5 8 5 − 8 5 − 2 8 5 − 8 5 4 1 + 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + i − 4 5 8 5 + 8 5 − 4 8 5 + 8 5 − 4 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 − 8 5 − 8 5 8 5 + 8 5 + 4 1 + i − 4 8 5 − 8 5 + 4 8 5 + 8 5 + 4 5 8 5 − 8 5 + 4 5 8 5 + 8 5 4 1 + 4 5 + i 8 5 − 8 5 _______________ _______________ ______________
/ ___ / ___ / ___
I*\/ 50 + 10*\/ 5 I*\/ 50 - 10*\/ 5 5*I*\/ 10 - 2*\/ 5
-1 - -------------------- + -------------------- + ---------------------
32 64 64 − 1 − i 10 5 + 50 32 + i 50 − 10 5 64 + 5 i 10 − 2 5 64 -1 - \frac{i \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{32} + \frac{i \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{64} + \frac{5 i \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{64} − 1 − 32 i 10 5 + 50 + 64 i 50 − 10 5 + 64 5 i 10 − 2 5 x1 = 0.809016994374947 - 0.587785252292473*i x2 = 0.809016994374947 + 0.587785252292473*i x3 = -0.309016994374947 - 0.951056516295154*i x4 = -0.309016994374947 + 0.951056516295154*i