Решение уравнений/ Любые/ x^5+1=0

x^5+1=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^5+1=0

    Виды выражений

    обычный калькулятор x^5+1=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5        
x  + 1 = 0
    x5+1=0x^{5} + 1 = 0
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x5+1=0x^{5} + 1 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x+0)55=−15\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-1}
    или
    x=−15x = \sqrt[5]{-1}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -1^1/5

    Получим ответ: x = (-1)^(1/5)

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z5=−1z^{5} = -1
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r5e5ip=−1r^{5} e^{5 i p} = -1
    где
    r=1r = 1
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e5ip=−1e^{5 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(5p)+cos⁡(5p)=−1i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1
    значит
    cos⁡(5p)=−1\cos{\left(5 p \right)} = -1
    и
    sin⁡(5p)=0\sin{\left(5 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN5+π5p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=−1z_{1} = -1
    z2=14+54+i58−58z_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    z3=−54+14−5i58−582−i58−582z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    z4=14+58−5858+58−5i58+584−i58+584−i58−584+5i58−584z_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}
    z5=−58−5858+58+14−i58−584+i58+584+5i58−584+5i58+584z_{5} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=−1x_{1} = -1
    x2=14+54+i58−58x_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    x3=−54+14−5i58−582−i58−582x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}
    x4=14+58−5858+58−5i58+584−i58+584−i58−584+5i58−584x_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}
    x5=−58−5858+58+14−i58−584+i58+584+5i58−584+5i58+584x_{5} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}
    График
    -15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.5-200000200000
    Построить график f1(x)
    Построить график f2(x)
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -1
    x1=−1x_{1} = -1
    Упростить
                       /       ___________              ___________\
                   |      /       ___              /       ___ |
                   |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
           ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |
     1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   |
x2 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------|
     4     4       \         2                     2           /
    x2=−54+14+i(−558−582−58−582)x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)
    Упростить
               /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                    
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                    
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |       /       ___      /       ___ 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| +   /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8
    x3=14+58−5858+58+i(−558+584−58+584−58−584+558−584)x_{3} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)
    Упростить
               /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                    
           |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                    
           |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________
           |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |       /       ___      /       ___ 
     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
x4 = - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| -   /   - - ----- *  /   - + ----- 
     4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8
    x4=−58−5858+58+14+i(−58−584+58+584+558−584+558+584)x_{4} = - \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)
    Упростить
                            ___________
           ___         /       ___ 
     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x5 = - + ----- + I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8
    x5=14+54+i58−58x_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    Упростить
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                          /       ___________              ___________\         /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                             /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                                                     
                      |      /       ___              /       ___ |         |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                             |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                                                     
                      |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |         |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________         |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________                      ___________
              ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |         |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |       /       ___      /       ___          |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |       /       ___      /       ___          ___         /       ___ 
        1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   |   1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5     1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5     1   \/ 5         /  5   \/ 5  
0 - 1 + - - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------| + - + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| +   /   - - ----- *  /   - + -----  + - + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| -   /   - - ----- *  /   - + -----  + - + ----- + I*  /   - - ----- 
        4     4       \         2                     2           /   4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8      4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8      4     4       \/    8     8
    ((((−1+0)+(−54+14+i(−558−582−58−582)))+(14+58−5858+58+i(−558+584−58+584−58−584+558−584)))+(−58−5858+58+14+i(−58−584+58+584+558−584+558+584)))+(14+54+i58−58)\left(\left(\left(\left(-1 + 0\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)
    =
                           /       ___________              ___________\     /       ___________        ___________              ___________              ___________\     /       ___________        ___________              ___________              ___________\
                       |      /       ___              /       ___ |     |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |     |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |
       ___________     |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |     |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |     |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |
      /       ___      |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |     |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |
     /  5   \/ 5       |  \/    8     8            \/    8     8   |     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |
I*  /   - - -----  + I*|- ---------------- - ----------------------| + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------|
  \/    8     8        \         2                     2           /     \         4                  4                     4                        4           /     \         4                  4                     4                        4           /
    i(−558−582−58−582)+i(−558+584−58+584−58−584+558−584)+i58−58+i(−58−584+58+584+558−584+558+584)i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right) + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)
    произведение
         /              /       ___________              ___________\\ /      /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                    \ /      /       ___________        ___________              ___________              ___________\                                    \                                 
     |              |      /       ___              /       ___ || |      |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                    | |      |      /       ___        /       ___              /       ___              /       ___ |                                    |                                 
     |              |     /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  || |      |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________| |      |     /  5   \/ 5        /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5       ___    /  5   \/ 5  |        ___________      ___________| /                   ___________\
     |      ___     |    /   - - -----    \/ 5 *  /   - - ----- || |      |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - + -----    \/ 5 *  /   - - ----- |       /       ___      /       ___ | |      |    /   - - -----      /   - + -----    \/ 5 *  /   - - -----    \/ 5 *  /   - + ----- |       /       ___      /       ___ | |      ___         /       ___ |
     |1   \/ 5      |  \/    8     8            \/    8     8   || |1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |1     |  \/    8     8      \/    8     8            \/    8     8            \/    8     8   |      /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  | |1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
1*-1*|- - ----- + I*|- ---------------- - ----------------------||*|- + I*|- ---------------- - ---------------- - ---------------------- + ----------------------| +   /   - - ----- *  /   - + ----- |*|- + I*|- ---------------- + ---------------- + ---------------------- + ----------------------| -   /   - - ----- *  /   - + ----- |*|- + ----- + I*  /   - - ----- |
     \4     4       \         2                     2           // \4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8   / \4     \         4                  4                     4                        4           /   \/    8     8    \/    8     8   / \4     4       \/    8     8   /
    1(−1)(−54+14+i(−558−582−58−582))(14+58−5858+58+i(−558+584−58+584−58−584+558−584))(−58−5858+58+14+i(−58−584+58+584+558−584+558+584))(14+54+i58−58)1 \left(-1\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)\right) \left(\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + i \left(- \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)\right) \left(- \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)\right) \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)
    =
              _______________        _______________          ______________
         /           ___        /           ___          /          ___ 
     I*\/  50 + 10*\/ 5     I*\/  50 - 10*\/ 5     5*I*\/  10 - 2*\/ 5  
-1 - -------------------- + -------------------- + ---------------------
              32                     64                      64
    −1−i105+5032+i50−10564+5i10−2564-1 - \frac{i \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{32} + \frac{i \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{64} + \frac{5 i \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{64}
    Численный ответ [src]
    x1 = 0.809016994374947 - 0.587785252292473*i
    x2 = 0.809016994374947 + 0.587785252292473*i
    x3 = -0.309016994374947 - 0.951056516295154*i
    x4 = -0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
    x5 = -1.0
    График
    x^5+1=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/8/8e/67f96946011597f103b67ece9ef1f.png