- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- x^2/2-x=3*x/2-x
- 8x:8=48:8
- x^4+2x^2-8=0
- (x-2)(x-4)=8
- Х+2х-4=0
- -х²+75х+574=0
- Сумма корней:
- atan(3*x^2-1)=atan(2*x^2+x+1)
- x/5=14
- x^2+12*x-28=0
- x^2+9*x+14=0
- 20*x^2-x-1=0
- z^2-3*z+9=0
- Произведение корней:
- x^2+5*x+1=0
- x^2-16*x=0
- x^2+3*x+1=0
- 12-3*y^2=0
- x^3=11
- 23*x/(2*x^2+15)=2
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- 4*x-16*y=12
- 5*x+3*y=0
- 5*x+2*y=12
- -4*x-3*y=-5
- 9*x-1*y=5
- -9*x-8*y=0
- График функции y =:
- x^5
- Производная:
- x^5
- Интеграл:
- x^5
Идентичные выражения
- x^ пять =- тридцать два
- х в степени 5 равно минус 32
- х в степени пять равно минус тридцать два
- x5=-32
- x⁵=-32
Похожие выражения
- x^5=+32
- 70500:(х-32500)=141
- x^5-1=0
- 8x^2-32x=0
- x^5=8
- x^5=6
- x^2+4*x-32=0
- Информация для покупателей
x^5=-32 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^5=-32
Решение
Подробное решение
$$x^{5} = -32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
или
$$x = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x = -2*1^1/5
Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
x1 = -2
/ ___________ ___________\
___ | / ___ / ___ |
1 \/ 5 | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 |
x2 = - - ----- + I*|- / - - ----- - \/ 5 * / - - ----- |
2 2 \ \/ 8 8 \/ 8 8 / / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___
1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
x3 = - + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2* / - - ----- * / - + -----
2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8 / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| / - + ----- / - - ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___
1 |\/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
x4 = - + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2* / - - ----- * / - + -----
2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x5 = - + ----- + 2*I* / - - -----
2 2 \/ 8 8
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ ___________ ___________ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ |
/ ___________ ___________\ | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________ | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________ ___________
___ | / ___ / ___ | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ | / - + ----- / - - ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ ___ / ___
1 \/ 5 | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | 1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 1 |\/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 1 \/ 5 / 5 \/ 5
0 - 2 + - - ----- + I*|- / - - ----- - \/ 5 * / - - ----- | + - + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2* / - - ----- * / - + ----- + - + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2* / - - ----- * / - + ----- + - + ----- + 2*I* / - - -----
2 2 \ \/ 8 8 \/ 8 8 / 2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8 2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8 2 2 \/ 8 8 =
/ ___________ ___________ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ |
/ ___________ ___________\ | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________
| / ___ / ___ | | / - + ----- / - - ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___
| / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | |\/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5
I*|- / - - ----- - \/ 5 * / - - ----- | + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2*I* / - - -----
\ \/ 8 8 \/ 8 8 / \ 2 2 2 2 / \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 произведение
/ / ___________ ___________ ___________ ___________\ \ / / ___________ ___________ ___________ ___________\ \
| | / ___ / ___ / ___ / ___ | | | | / ___ / ___ / ___ / ___ | |
/ / ___________ ___________\\ | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________| | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________| / ___________\
| ___ | / ___ / ___ || | | / - - ----- / - + ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ | | | / - + ----- / - - ----- \/ 5 * / - - ----- \/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ | | ___ / ___ |
|1 \/ 5 | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 || |1 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 | |1 |\/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 | |1 \/ 5 / 5 \/ 5 |
1*-2*|- - ----- + I*|- / - - ----- - \/ 5 * / - - ----- ||*|- + I*|- ---------------- - ---------------- + ---------------------- - ----------------------| + 2* / - - ----- * / - + ----- |*|- + I*|---------------- - ---------------- + ---------------------- + ----------------------| - 2* / - - ----- * / - + ----- |*|- + ----- + 2*I* / - - ----- |
\2 2 \ \/ 8 8 \/ 8 8 // \2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8 / \2 \ 2 2 2 2 / \/ 8 8 \/ 8 8 / \2 2 \/ 8 8 /=
_______________ ______________
/ ___ _______________ / ___
I*\/ 50 - 10*\/ 5 / ___ 5*I*\/ 10 - 2*\/ 5
-32 + -------------------- - I*\/ 50 + 10*\/ 5 + ---------------------
2 2
Численный ответ
[src]
x1 = -0.618033988749895 + 1.90211303259031*i
x2 = -2.0
x3 = 1.61803398874989 + 1.17557050458495*i
x4 = -0.618033988749895 - 1.90211303259031*i
x5 = 1.61803398874989 - 1.17557050458495*i
График