- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- -3*x=0
- -2*x=0
- -2*y=6
- y+5=6*7
- -х²+75х+574=0
- (х^2-4х)/(х-9)=0
- Сумма корней:
- x/(a+x^2)+(a+x^2)/x=-5/2
- x*(x^2+4*x+4)=3*(x+2)
- 27-x^3=0
- (x+2)^3=0
- 20*x^2-x-1=0
- (3*x-5)/(x-2)=(7-4*x)/(x-2)
- Произведение корней:
- 4*x^2+25*x-3=9*x+17
- (x-2)^3=0
- z^4=-1
- x^3+3*x^2=0
- x^3=11
- (6*x-16)^2-5*(6*x-16)+6=0
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- 10*x-1*y=10
- -20*x+15*y=2
- 18*x-12*y=-20
- 2*x+2*y=-6
- 9*x-1*y=5
- -9*x-8*y=0
Идентичные выражения
- x^ пятнадцать - один = ноль
- х в степени 15 минус 1 равно 0
- х в степени пятнадцать минус один равно ноль
- x15 -1 = 0
Похожие выражения
- (4*x-5)*(-x+2) = 0
- x^15 +1 = 0
- x^2-x-2 = 0
- (x+30)/ 0,79=y
- Информация для покупателей
x^15 -1 = 0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^15 -1 = 0
Решение
Подробное решение
$$x^{15} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 15 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 15-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[15]{x^{15}} = \sqrt[15]{1}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1
Остальные 14 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{15} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{15} e^{15 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{15 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(15 p \right)} + \cos{\left(15 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(15 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(15 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{15}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{9} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$z_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{12} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$z_{13} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{14} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{9} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$x_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{12} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$x_{13} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{14} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
Быстрый ответ
[src]
x1 = 1
/ ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x2 = - + ----- + I*|---------------- - ----- - ------| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x3 = - + ----- + I*|- ---------------- + ----- + ------| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ____ ___| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 15 \/ 3 | \/ 8 8
x4 = - - ----- + I*|- ---------------- - ------ + -----| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ___ ____| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x5 = - - ----- + I*|---------------- - ----- + ------| + ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x6 = - + ----- + I*|- ---------------- - ----- - ------| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - - ----- ___ ____| \/ 3 * / - - -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x7 = - + ----- + I*|---------------- + ----- + ------| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ____ ___| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 |\/ 8 8 \/ 15 \/ 3 | \/ 8 8
x8 = - - ----- + I*|---------------- - ------ + -----| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2 ___
1 I*\/ 3
x9 = - - - -------
2 2 ___
1 I*\/ 3
x10 = - - + -------
2 2 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x11 = - - + ----- - I* / - + -----
4 4 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x12 = - - + ----- + I* / - + -----
4 4 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x13 = - - - ----- - I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
x14 = - - - ----- + I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| / 5 \/ 5 | ___ / 5 \/ 5
___ | / - + ----- ___ ____| \/ 3 * / - + -----
1 \/ 5 | \/ 8 8 \/ 3 \/ 15 | \/ 8 8
x15 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----- + ------| - ----------------------
8 8 \ 2 8 8 / 2
Численный ответ
[src]
x1 = -0.104528463267653 + 0.994521895368273*i
x2 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i
x3 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x4 = 0.669130606358858 + 0.743144825477394*i
x5 = 0.913545457642601 - 0.4067366430758*i
x6 = -0.978147600733806 - 0.207911690817759*i
x7 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i
x8 = 0.669130606358858 - 0.743144825477394*i
x9 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
x10 = -0.104528463267653 - 0.994521895368273*i
x11 = -0.978147600733806 + 0.207911690817759*i
x12 = 0.913545457642601 + 0.4067366430758*i
x13 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x14 = 1.0
x15 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i
График