x^15 -1 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^15 -1 = 0

Вы ввели

 15        
x   - 1 = 0

$$x^{15} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{15} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 15 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 15-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[15]{x^{15}} = \sqrt[15]{1}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1

Остальные 14 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{15} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{15} e^{15 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{15 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(15 p \right)} + \cos{\left(15 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(15 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(15 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{15}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{8} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{9} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$z_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{12} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$z_{13} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$z_{14} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{8} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{9} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{10} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$x_{11} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{12} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8}$$
$$x_{13} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$
$$x_{14} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{15} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{8} + \frac{\sqrt{15} i}{8}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

                   /     ___________                 \              ___________
                   |    /       ___                  |             /       ___ 
                   |   /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |  /   - - -----      ___     ____|   \/ 3 *  /   - - ----- 
     1   \/ 5      |\/    8     8      \/ 3    \/ 15 |         \/    8     8   
x2 = - + ----- + I*|---------------- - ----- - ------| + ----------------------
     8     8       \       2             8       8   /             2           

$$x_{2} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

                   /       ___________                 \              ___________
                   |      /       ___                  |             /       ___ 
                   |     /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |    /   - - -----      ___     ____|   \/ 3 *  /   - - ----- 
     1   \/ 5      |  \/    8     8      \/ 3    \/ 15 |         \/    8     8   
x3 = - + ----- + I*|- ---------------- + ----- + ------| + ----------------------
     8     8       \         2             8       8   /             2           

$$x_{3} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{8}\right)$$

                   /       ___________                 \              ___________
                   |      /       ___                  |             /       ___ 
                   |     /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |    /   - + -----      ____     ___|   \/ 3 *  /   - + ----- 
     1   \/ 5      |  \/    8     8      \/ 15    \/ 3 |         \/    8     8   
x4 = - - ----- + I*|- ---------------- - ------ + -----| + ----------------------
     8     8       \         2             8        8  /             2           

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right)$$

                   /     ___________                 \              ___________
                   |    /       ___                  |             /       ___ 
                   |   /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |  /   - + -----      ___     ____|   \/ 3 *  /   - + ----- 
     1   \/ 5      |\/    8     8      \/ 3    \/ 15 |         \/    8     8   
x5 = - - ----- + I*|---------------- - ----- + ------| + ----------------------
     8     8       \       2             8       8   /             2           

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15}}{8}\right)$$

                   /       ___________                 \              ___________
                   |      /       ___                  |             /       ___ 
                   |     /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |    /   - - -----      ___     ____|   \/ 3 *  /   - - ----- 
     1   \/ 5      |  \/    8     8      \/ 3    \/ 15 |         \/    8     8   
x6 = - + ----- + I*|- ---------------- - ----- - ------| - ----------------------
     8     8       \         2             8       8   /             2           

$$x_{6} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{15}}{8} - \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right)$$

                   /     ___________                 \              ___________
                   |    /       ___                  |             /       ___ 
                   |   /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |  /   - - -----      ___     ____|   \/ 3 *  /   - - ----- 
     1   \/ 5      |\/    8     8      \/ 3    \/ 15 |         \/    8     8   
x7 = - + ----- + I*|---------------- + ----- + ------| - ----------------------
     8     8       \       2             8       8   /             2           

$$x_{7} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8} + i \left(\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{15}}{8}\right)$$

                   /     ___________                 \              ___________
                   |    /       ___                  |             /       ___ 
                   |   /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
           ___     |  /   - + -----      ____     ___|   \/ 3 *  /   - + ----- 
     1   \/ 5      |\/    8     8      \/ 15    \/ 3 |         \/    8     8   
x8 = - - ----- + I*|---------------- - ------ + -----| - ----------------------
     8     8       \       2             8        8  /             2           

$$x_{8} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x9 = - - - -------
       2      2   

$$x_{9} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

                ___
        1   I*\/ 3 
x10 = - - + -------
        2      2   

$$x_{10} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

                           ___________
              ___         /       ___ 
        1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x11 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
        4     4       \/    8     8   

$$x_{11} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                           ___________
              ___         /       ___ 
        1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x12 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
        4     4       \/    8     8   

$$x_{12} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                           ___________
              ___         /       ___ 
        1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x13 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
        4     4       \/    8     8   

$$x_{13} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                           ___________
              ___         /       ___ 
        1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x14 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
        4     4       \/    8     8   

$$x_{14} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                    /       ___________                 \              ___________
                    |      /       ___                  |             /       ___ 
                    |     /  5   \/ 5                   |     ___    /  5   \/ 5  
            ___     |    /   - + -----      ___     ____|   \/ 3 *  /   - + ----- 
      1   \/ 5      |  \/    8     8      \/ 3    \/ 15 |         \/    8     8   
x15 = - - ----- + I*|- ---------------- - ----- + ------| - ----------------------
      8     8       \         2             8       8   /             2           

$$x_{15} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{1}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{8}\right)$$

Численный ответ

x1 = -0.104528463267653 + 0.994521895368273*i

x2 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

x3 = -0.5 - 0.866025403784439*i

x4 = 0.669130606358858 + 0.743144825477394*i

x5 = 0.913545457642601 - 0.4067366430758*i

x6 = -0.978147600733806 - 0.207911690817759*i

x7 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

x8 = 0.669130606358858 - 0.743144825477394*i

x9 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

x10 = -0.104528463267653 - 0.994521895368273*i

x11 = -0.978147600733806 + 0.207911690817759*i

x12 = 0.913545457642601 + 0.4067366430758*i

x13 = -0.5 + 0.866025403784439*i

x14 = 1.0

x15 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

График