x^7-128=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^7-128=0

Вы ввели

 7          
x  - 128 = 0

$$x^{7} - 128 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{7} - 128 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[7]{x^{7}} = \sqrt[7]{128}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{7} = 128$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 128$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

            /pi\          /pi\
x2 = - 2*cos|--| - 2*I*sin|--|
            \7 /          \7 /

$$x_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

            /pi\          /pi\
x3 = - 2*cos|--| + 2*I*sin|--|
            \7 /          \7 /

$$x_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

          /2*pi\          /2*pi\
x4 = 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
          \ 7  /          \ 7  /

$$x_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

          /2*pi\          /2*pi\
x5 = 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
          \ 7  /          \ 7  /

$$x_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

            /3*pi\          /3*pi\
x6 = - 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
            \ 7  /          \ 7  /

$$x_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

            /3*pi\          /3*pi\
x7 = - 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
            \ 7  /          \ 7  /

$$x_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           /pi\          /pi\          /pi\          /pi\        /2*pi\          /2*pi\        /2*pi\          /2*pi\          /3*pi\          /3*pi\          /3*pi\          /3*pi\
2 + - 2*cos|--| - 2*I*sin|--| + - 2*cos|--| + 2*I*sin|--| + 2*cos|----| - 2*I*sin|----| + 2*cos|----| + 2*I*sin|----| + - 2*cos|----| - 2*I*sin|----| + - 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
           \7 /          \7 /          \7 /          \7 /        \ 7  /          \ 7  /        \ 7  /          \ 7  /          \ 7  /          \ 7  /          \ 7  /          \ 7  /

$$\left(\left(- 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) + \left(\left(\left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) + \left(\left(2 + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right)\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right)\right)\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

         /pi\        /3*pi\        /2*pi\
2 - 4*cos|--| - 4*cos|----| + 4*cos|----|
         \7 /        \ 7  /        \ 7  /

$$- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 + 4 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

произведение

  /       /pi\          /pi\\ /       /pi\          /pi\\ /     /2*pi\          /2*pi\\ /     /2*pi\          /2*pi\\ /       /3*pi\          /3*pi\\ /       /3*pi\          /3*pi\\
2*|- 2*cos|--| - 2*I*sin|--||*|- 2*cos|--| + 2*I*sin|--||*|2*cos|----| - 2*I*sin|----||*|2*cos|----| + 2*I*sin|----||*|- 2*cos|----| - 2*I*sin|----||*|- 2*cos|----| + 2*I*sin|----||
  \       \7 /          \7 // \       \7 /          \7 // \     \ 7  /          \ 7  // \     \ 7  /          \ 7  // \       \ 7  /          \ 7  // \       \ 7  /          \ 7  //

$$2 \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

128

$$128$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = -0.445041867912629 - 1.94985582436365*i

x3 = -1.80193773580484 - 0.867767478235116*i

x4 = 1.24697960371747 + 1.56366296493606*i

x5 = 1.24697960371747 - 1.56366296493606*i

x6 = -0.445041867912629 + 1.94985582436365*i

x7 = -1.80193773580484 + 0.867767478235116*i