x^7=10 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^7=10

Вы ввели

 7     
x  = 10

$$x^{7} = 10$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{7} = 10$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x + 0\right)^{7}} = \sqrt[7]{10}$$
или
$$x = \sqrt[7]{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 10^1/7

Получим ответ: x = 10^(1/7)

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{7} = 10$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 10$$
где
$$r = \sqrt[7]{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[7]{10}$$
$$z_{2} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[7]{10}$$
$$x_{2} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Быстрый ответ

     7 ____
x1 = \/ 10 

$$x_{1} = \sqrt[7]{10}$$

       7 ____    /pi\     7 ____    /pi\
x2 = - \/ 10 *cos|--| - I*\/ 10 *sin|--|
                 \7 /               \7 /

$$x_{2} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

       7 ____    /pi\     7 ____    /pi\
x3 = - \/ 10 *cos|--| + I*\/ 10 *sin|--|
                 \7 /               \7 /

$$x_{3} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

     7 ____    /2*pi\     7 ____    /2*pi\
x4 = \/ 10 *cos|----| - I*\/ 10 *sin|----|
               \ 7  /               \ 7  /

$$x_{4} = \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

     7 ____    /2*pi\     7 ____    /2*pi\
x5 = \/ 10 *cos|----| + I*\/ 10 *sin|----|
               \ 7  /               \ 7  /

$$x_{5} = \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

       7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\
x6 = - \/ 10 *cos|----| - I*\/ 10 *sin|----|
                 \ 7  /               \ 7  /

$$x_{6} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

       7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\
x7 = - \/ 10 *cos|----| + I*\/ 10 *sin|----|
                 \ 7  /               \ 7  /

$$x_{7} = - \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    7 ____     7 ____    /pi\     7 ____    /pi\     7 ____    /pi\     7 ____    /pi\   7 ____    /2*pi\     7 ____    /2*pi\   7 ____    /2*pi\     7 ____    /2*pi\     7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\
0 + \/ 10  + - \/ 10 *cos|--| - I*\/ 10 *sin|--| + - \/ 10 *cos|--| + I*\/ 10 *sin|--| + \/ 10 *cos|----| - I*\/ 10 *sin|----| + \/ 10 *cos|----| + I*\/ 10 *sin|----| + - \/ 10 *cos|----| - I*\/ 10 *sin|----| + - \/ 10 *cos|----| + I*\/ 10 *sin|----|
                         \7 /               \7 /               \7 /               \7 /             \ 7  /               \ 7  /             \ 7  /               \ 7  /               \ 7  /               \ 7  /               \ 7  /               \ 7  /

$$\left(\left(- \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) - \left(- 2 \cdot \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} + 2 \cdot \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right) - \left(\sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

7 ____     7 ____    /pi\     7 ____    /3*pi\     7 ____    /2*pi\
\/ 10  - 2*\/ 10 *cos|--| - 2*\/ 10 *cos|----| + 2*\/ 10 *cos|----|
                     \7 /               \ 7  /               \ 7  /

$$- 2 \cdot \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 \cdot \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} + 2 \cdot \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

произведение

  7 ____ /  7 ____    /pi\     7 ____    /pi\\ /  7 ____    /pi\     7 ____    /pi\\ /7 ____    /2*pi\     7 ____    /2*pi\\ /7 ____    /2*pi\     7 ____    /2*pi\\ /  7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\\ /  7 ____    /3*pi\     7 ____    /3*pi\\
1*\/ 10 *|- \/ 10 *cos|--| - I*\/ 10 *sin|--||*|- \/ 10 *cos|--| + I*\/ 10 *sin|--||*|\/ 10 *cos|----| - I*\/ 10 *sin|----||*|\/ 10 *cos|----| + I*\/ 10 *sin|----||*|- \/ 10 *cos|----| - I*\/ 10 *sin|----||*|- \/ 10 *cos|----| + I*\/ 10 *sin|----||
         \            \7 /               \7 // \            \7 /               \7 // \          \ 7  /               \ 7  // \          \ 7  /               \ 7  // \            \ 7  /               \ 7  // \            \ 7  /               \ 7  //

$$1 \cdot \sqrt[7]{10} \left(- \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(- \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(\sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(\sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(- \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) \left(- \sqrt[7]{10} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{10} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

10

$$10$$

Численный ответ

x1 = 0.866336270470311 + 1.0863513222484*i

x2 = -0.309191835136001 + 1.35465794131525*i

x3 = -1.25189218252088 + 0.602879500585617*i

x4 = 0.866336270470311 - 1.0863513222484*i

x5 = -0.309191835136001 - 1.35465794131525*i

x6 = 1.38949549437314

x7 = -1.25189218252088 - 0.602879500585617*i

График