x^7=25 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^7=25
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеx 7 = 25 x^{7} = 25 x 7 = 25 Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:( 1 x + 0 ) 7 7 = 25 7 \sqrt[7]{\left(1 x + 0\right)^{7}} = \sqrt[7]{25} 7 ( 1 x + 0 ) 7 = 7 25 илиx = 5 2 7 x = 5^{\frac{2}{7}} x = 5 7 2 Раскрываем скобочки в правой части ур-нияx = 5^2/7 Получим ответ: x = 5^(2/7) Остальные 6 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 7 = 25 z^{7} = 25 z 7 = 25 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 7 e 7 i p = 25 r^{7} e^{7 i p} = 25 r 7 e 7 i p = 25 гдеr = 5 2 7 r = 5^{\frac{2}{7}} r = 5 7 2 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 7 i p = 1 e^{7 i p} = 1 e 7 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 7 p ) + cos ( 7 p ) = 1 i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1 i sin ( 7 p ) + cos ( 7 p ) = 1 значитcos ( 7 p ) = 1 \cos{\left(7 p \right)} = 1 cos ( 7 p ) = 1 иsin ( 7 p ) = 0 \sin{\left(7 p \right)} = 0 sin ( 7 p ) = 0 тогдаp = 2 π N 7 p = \frac{2 \pi N}{7} p = 7 2 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = 5 2 7 z_{1} = 5^{\frac{2}{7}} z 1 = 5 7 2 z 2 = − 5 2 7 cos ( π 7 ) − 5 2 7 i sin ( π 7 ) z_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)} z 2 = − 5 7 2 cos ( 7 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 π ) z 3 = − 5 2 7 cos ( π 7 ) + 5 2 7 i sin ( π 7 ) z_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)} z 3 = − 5 7 2 cos ( 7 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 π ) z 4 = 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) z_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} z 4 = 5 7 2 cos ( 7 2 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) z 5 = 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) z_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} z 5 = 5 7 2 cos ( 7 2 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) z 6 = − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) z_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} z 6 = − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) z 7 = − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) z_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} z 7 = − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = 5 2 7 x_{1} = 5^{\frac{2}{7}} x 1 = 5 7 2 x 2 = − 5 2 7 cos ( π 7 ) − 5 2 7 i sin ( π 7 ) x_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)} x 2 = − 5 7 2 cos ( 7 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 π ) x 3 = − 5 2 7 cos ( π 7 ) + 5 2 7 i sin ( π 7 ) x_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)} x 3 = − 5 7 2 cos ( 7 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 π ) x 4 = 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) x_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} x 4 = 5 7 2 cos ( 7 2 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) x 5 = 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) x_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} x 5 = 5 7 2 cos ( 7 2 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) x 6 = − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) x_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} x 6 = − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) x 7 = − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) x_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} x 7 = − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 3 π )
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 -50000000 50000000
x 1 = 5 2 7 x_{1} = 5^{\frac{2}{7}} x 1 = 5 7 2 2/7 /pi\ 2/7 /pi\
x2 = - 5 *cos|--| - I*5 *sin|--|
\7 / \7 / x 2 = − 5 2 7 cos ( π 7 ) − 5 2 7 i sin ( π 7 ) x_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)} x 2 = − 5 7 2 cos ( 7 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 π ) 2/7 /pi\ 2/7 /pi\
x3 = - 5 *cos|--| + I*5 *sin|--|
\7 / \7 / x 3 = − 5 2 7 cos ( π 7 ) + 5 2 7 i sin ( π 7 ) x_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)} x 3 = − 5 7 2 cos ( 7 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 π ) 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\
x4 = 5 *cos|----| - I*5 *sin|----|
\ 7 / \ 7 / x 4 = 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) x_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} x 4 = 5 7 2 cos ( 7 2 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\
x5 = 5 *cos|----| + I*5 *sin|----|
\ 7 / \ 7 / x 5 = 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) x_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} x 5 = 5 7 2 cos ( 7 2 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\
x6 = - 5 *cos|----| - I*5 *sin|----|
\ 7 / \ 7 / x 6 = − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) x_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} x 6 = − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\
x7 = - 5 *cos|----| + I*5 *sin|----|
\ 7 / \ 7 / x 7 = − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) x_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} x 7 = − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 3 π )
Сумма и произведение корней
[src] 2/7 2/7 /pi\ 2/7 /pi\ 2/7 /pi\ 2/7 /pi\ 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\ 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\
0 + 5 + - 5 *cos|--| - I*5 *sin|--| + - 5 *cos|--| + I*5 *sin|--| + 5 *cos|----| - I*5 *sin|----| + 5 *cos|----| + I*5 *sin|----| + - 5 *cos|----| - I*5 *sin|----| + - 5 *cos|----| + I*5 *sin|----|
\7 / \7 / \7 / \7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / ( ( − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) ) − ( − 2 ⋅ 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) − 5 2 7 + 2 ⋅ 5 2 7 cos ( π 7 ) ) ) − ( 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) ) \left(\left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) - \left(- 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right) - \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) ( ( − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) ) − ( − 2 ⋅ 5 7 2 cos ( 7 2 π ) − 5 7 2 + 2 ⋅ 5 7 2 cos ( 7 π ) ) ) − ( 5 7 2 cos ( 7 3 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) ) 2/7 2/7 /pi\ 2/7 /3*pi\ 2/7 /2*pi\
5 - 2*5 *cos|--| - 2*5 *cos|----| + 2*5 *cos|----|
\7 / \ 7 / \ 7 / − 2 ⋅ 5 2 7 cos ( π 7 ) − 2 ⋅ 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) + 5 2 7 + 2 ⋅ 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) - 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} − 2 ⋅ 5 7 2 cos ( 7 π ) − 2 ⋅ 5 7 2 cos ( 7 3 π ) + 5 7 2 + 2 ⋅ 5 7 2 cos ( 7 2 π ) 2/7 / 2/7 /pi\ 2/7 /pi\\ / 2/7 /pi\ 2/7 /pi\\ / 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\\ / 2/7 /2*pi\ 2/7 /2*pi\\ / 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\\ / 2/7 /3*pi\ 2/7 /3*pi\\
1*5 *|- 5 *cos|--| - I*5 *sin|--||*|- 5 *cos|--| + I*5 *sin|--||*|5 *cos|----| - I*5 *sin|----||*|5 *cos|----| + I*5 *sin|----||*|- 5 *cos|----| - I*5 *sin|----||*|- 5 *cos|----| + I*5 *sin|----||
\ \7 / \7 // \ \7 / \7 // \ \ 7 / \ 7 // \ \ 7 / \ 7 // \ \ 7 / \ 7 // \ \ 7 / \ 7 // 1 ⋅ 5 2 7 ( − 5 2 7 cos ( π 7 ) − 5 2 7 i sin ( π 7 ) ) ( − 5 2 7 cos ( π 7 ) + 5 2 7 i sin ( π 7 ) ) ( 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) ) ( 5 2 7 cos ( 2 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 2 π 7 ) ) ( − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) − 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) ) ( − 5 2 7 cos ( 3 π 7 ) + 5 2 7 i sin ( 3 π 7 ) ) 1 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) 1 ⋅ 5 7 2 ( − 5 7 2 cos ( 7 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 π ) ) ( − 5 7 2 cos ( 7 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 π ) ) ( 5 7 2 cos ( 7 2 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) ) ( 5 7 2 cos ( 7 2 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 2 π ) ) ( − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) − 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) ) ( − 5 7 2 cos ( 7 3 π ) + 5 7 2 i sin ( 7 3 π ) ) x1 = -0.352433018561064 + 1.54410994444743*i x2 = -1.42697215987208 + 0.687193573939351*i x3 = -0.352433018561064 - 1.54410994444743*i x5 = 0.987495374049851 + 1.23828003268391*i x6 = -1.42697215987208 - 0.687193573939351*i x7 = 0.987495374049851 - 1.23828003268391*i