x^7=25 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^7=25

    Решение

    Вы ввели [src]
     7     
    x  = 25
    x7=25x^{7} = 25
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x7=25x^{7} = 25
    Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x+0)77=257\sqrt[7]{\left(1 x + 0\right)^{7}} = \sqrt[7]{25}
    или
    x=527x = 5^{\frac{2}{7}}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 5^2/7

    Получим ответ: x = 5^(2/7)

    Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z7=25z^{7} = 25
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r7e7ip=25r^{7} e^{7 i p} = 25
    где
    r=527r = 5^{\frac{2}{7}}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e7ip=1e^{7 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(7p)+cos(7p)=1i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1
    значит
    cos(7p)=1\cos{\left(7 p \right)} = 1
    и
    sin(7p)=0\sin{\left(7 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN7p = \frac{2 \pi N}{7}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=527z_{1} = 5^{\frac{2}{7}}
    z2=527cos(π7)527isin(π7)z_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}
    z3=527cos(π7)+527isin(π7)z_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}
    z4=527cos(2π7)527isin(2π7)z_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
    z5=527cos(2π7)+527isin(2π7)z_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
    z6=527cos(3π7)527isin(3π7)z_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}
    z7=527cos(3π7)+527isin(3π7)z_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=527x_{1} = 5^{\frac{2}{7}}
    x2=527cos(π7)527isin(π7)x_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}
    x3=527cos(π7)+527isin(π7)x_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}
    x4=527cos(2π7)527isin(2π7)x_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
    x5=527cos(2π7)+527isin(2π7)x_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
    x6=527cos(3π7)527isin(3π7)x_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}
    x7=527cos(3π7)+527isin(3π7)x_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}
    График
    -12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-5000000050000000
    Быстрый ответ [src]
          2/7
    x1 = 5   
    x1=527x_{1} = 5^{\frac{2}{7}}
            2/7    /pi\      2/7    /pi\
    x2 = - 5   *cos|--| - I*5   *sin|--|
                   \7 /             \7 /
    x2=527cos(π7)527isin(π7)x_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}
            2/7    /pi\      2/7    /pi\
    x3 = - 5   *cos|--| + I*5   *sin|--|
                   \7 /             \7 /
    x3=527cos(π7)+527isin(π7)x_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}
          2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\
    x4 = 5   *cos|----| - I*5   *sin|----|
                 \ 7  /             \ 7  /
    x4=527cos(2π7)527isin(2π7)x_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
          2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\
    x5 = 5   *cos|----| + I*5   *sin|----|
                 \ 7  /             \ 7  /
    x5=527cos(2π7)+527isin(2π7)x_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
            2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\
    x6 = - 5   *cos|----| - I*5   *sin|----|
                   \ 7  /             \ 7  /
    x6=527cos(3π7)527isin(3π7)x_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}
            2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\
    x7 = - 5   *cos|----| + I*5   *sin|----|
                   \ 7  /             \ 7  /
    x7=527cos(3π7)+527isin(3π7)x_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
         2/7      2/7    /pi\      2/7    /pi\      2/7    /pi\      2/7    /pi\    2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\    2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\
    0 + 5    + - 5   *cos|--| - I*5   *sin|--| + - 5   *cos|--| + I*5   *sin|--| + 5   *cos|----| - I*5   *sin|----| + 5   *cos|----| + I*5   *sin|----| + - 5   *cos|----| - I*5   *sin|----| + - 5   *cos|----| + I*5   *sin|----|
                         \7 /             \7 /             \7 /             \7 /           \ 7  /             \ 7  /           \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /
    ((527cos(3π7)527isin(3π7))(2527cos(2π7)527+2527cos(π7)))(527cos(3π7)527isin(3π7))\left(\left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) - \left(- 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right) - \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)
    =
     2/7      2/7    /pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /2*pi\
    5    - 2*5   *cos|--| - 2*5   *cos|----| + 2*5   *cos|----|
                     \7 /             \ 7  /             \ 7  /
    2527cos(π7)2527cos(3π7)+527+2527cos(2π7)- 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}
    произведение
       2/7 /   2/7    /pi\      2/7    /pi\\ /   2/7    /pi\      2/7    /pi\\ / 2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\\ / 2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\\ /   2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\\ /   2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\\
    1*5   *|- 5   *cos|--| - I*5   *sin|--||*|- 5   *cos|--| + I*5   *sin|--||*|5   *cos|----| - I*5   *sin|----||*|5   *cos|----| + I*5   *sin|----||*|- 5   *cos|----| - I*5   *sin|----||*|- 5   *cos|----| + I*5   *sin|----||
           \          \7 /             \7 // \          \7 /             \7 // \        \ 7  /             \ 7  // \        \ 7  /             \ 7  // \          \ 7  /             \ 7  // \          \ 7  /             \ 7  //
    1527(527cos(π7)527isin(π7))(527cos(π7)+527isin(π7))(527cos(2π7)527isin(2π7))(527cos(2π7)+527isin(2π7))(527cos(3π7)527isin(3π7))(527cos(3π7)+527isin(3π7))1 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)
    =
    25
    2525
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.352433018561064 + 1.54410994444743*i
    x2 = -1.42697215987208 + 0.687193573939351*i
    x3 = -0.352433018561064 - 1.54410994444743*i
    x4 = 1.58381960876658
    x5 = 0.987495374049851 + 1.23828003268391*i
    x6 = -1.42697215987208 - 0.687193573939351*i
    x7 = 0.987495374049851 - 1.23828003268391*i
    График
    x^7=25 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/b/b4/1c2ab71a5a6329d6bf3d0ebe8e6c1.png