x^17=119 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^17=119

Вы ввели

 17      
x   = 119

$$x^{17} = 119$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{17} = 119$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 17 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 17-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[17]{x^{17}} = \sqrt[17]{119}$$
или
$$x = \sqrt[17]{119}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 119^1/17

Получим ответ: x = 119^(1/17)

Остальные 16 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{17} = 119$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{17} e^{17 i p} = 119$$
где
$$r = \sqrt[17]{119}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{17 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(17 p \right)} + \cos{\left(17 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(17 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(17 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{17}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[17]{119}$$
$$z_{2} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{\pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{\pi}{17} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{\pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{\pi}{17} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{5} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{6} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{7} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{8} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{9} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{10} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{11} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{12} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{13} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{14} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{15} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{16} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)}$$
$$z_{17} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[17]{119}$$
$$x_{2} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{\pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{\pi}{17} \right)}$$
$$x_{3} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{\pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{\pi}{17} \right)}$$
$$x_{4} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{5} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{6} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{7} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{8} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{9} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{10} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{11} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{12} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{13} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{14} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{15} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{16} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)}$$
$$x_{17} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)}$$

Быстрый ответ

     17_____
x1 = \/ 119 

$$x_{1} = \sqrt[17]{119}$$

       17_____    /pi\     17_____    /pi\
x2 = - \/ 119 *cos|--| - I*\/ 119 *sin|--|
                  \17/                \17/

$$x_{2} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{\pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{\pi}{17} \right)}$$

       17_____    /pi\     17_____    /pi\
x3 = - \/ 119 *cos|--| + I*\/ 119 *sin|--|
                  \17/                \17/

$$x_{3} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{\pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{\pi}{17} \right)}$$

     17_____    /2*pi\     17_____    /2*pi\
x4 = \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                \ 17 /                \ 17 /

$$x_{4} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)}$$

     17_____    /2*pi\     17_____    /2*pi\
x5 = \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                \ 17 /                \ 17 /

$$x_{5} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{17} \right)}$$

       17_____    /3*pi\     17_____    /3*pi\
x6 = - \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                  \ 17 /                \ 17 /

$$x_{6} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)}$$

       17_____    /3*pi\     17_____    /3*pi\
x7 = - \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                  \ 17 /                \ 17 /

$$x_{7} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{17} \right)}$$

     17_____    /4*pi\     17_____    /4*pi\
x8 = \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                \ 17 /                \ 17 /

$$x_{8} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)}$$

     17_____    /4*pi\     17_____    /4*pi\
x9 = \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                \ 17 /                \ 17 /

$$x_{9} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{17} \right)}$$

        17_____    /5*pi\     17_____    /5*pi\
x10 = - \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                   \ 17 /                \ 17 /

$$x_{10} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)}$$

        17_____    /5*pi\     17_____    /5*pi\
x11 = - \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                   \ 17 /                \ 17 /

$$x_{11} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{17} \right)}$$

      17_____    /6*pi\     17_____    /6*pi\
x12 = \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                 \ 17 /                \ 17 /

$$x_{12} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)}$$

      17_____    /6*pi\     17_____    /6*pi\
x13 = \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                 \ 17 /                \ 17 /

$$x_{13} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{6 \pi}{17} \right)}$$

        17_____    /7*pi\     17_____    /7*pi\
x14 = - \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                   \ 17 /                \ 17 /

$$x_{14} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)}$$

        17_____    /7*pi\     17_____    /7*pi\
x15 = - \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                   \ 17 /                \ 17 /

$$x_{15} = - \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{7 \pi}{17} \right)}$$

      17_____    /8*pi\     17_____    /8*pi\
x16 = \/ 119 *cos|----| - I*\/ 119 *sin|----|
                 \ 17 /                \ 17 /

$$x_{16} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)} - \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)}$$

      17_____    /8*pi\     17_____    /8*pi\
x17 = \/ 119 *cos|----| + I*\/ 119 *sin|----|
                 \ 17 /                \ 17 /

$$x_{17} = \sqrt[17]{119} \cos{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)} + \sqrt[17]{119} i \sin{\left(\frac{8 \pi}{17} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.590433518967931 - 1.18575035178407*i

x2 = -0.362499210906029 + 1.27405257315757*i

x3 = -1.30206489698666 - 0.243398112383868*i

x4 = -0.798261321688334 - 1.05706882433137*i

x5 = 0.590433518967931 + 1.18575035178407*i

x6 = -1.12621381765795 - 0.697322073358661*i

x7 = 0.978905292507568 - 0.892390085880375*i

x8 = -0.362499210906029 - 1.27405257315757*i

x9 = 1.32461905356858

x10 = 0.978905292507568 + 0.892390085880375*i

x11 = -1.12621381765795 + 0.697322073358661*i

x12 = 0.122220426986604 - 1.31896846220981*i

x13 = 1.23517048199258 + 0.478507593974362*i

x14 = -1.30206489698666 + 0.243398112383868*i

x15 = 0.122220426986604 + 1.31896846220981*i

x16 = -0.798261321688334 + 1.05706882433137*i

x17 = 1.23517048199258 - 0.478507593974362*i

График