x^6-6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6-6=0

Вы ввели

 6        
x  - 6 = 0

$$x^{6} - 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} - 6 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{6}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{6} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt[6]{6}$$
$$x = - \sqrt[6]{6}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 6^1/6

Получим ответ: x = 6^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -6^1/6

Получим ответ: x = -6^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{6}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{6}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 6$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 6$$
где
$$r = \sqrt[6]{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{6}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{6}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{6}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Быстрый ответ

      6 ___
x1 = -\/ 6 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{6}$$

     6 ___
x2 = \/ 6 

$$x_{2} = \sqrt[6]{6}$$

       6 ___     6 ___  2/3
       \/ 6    I*\/ 2 *3   
x3 = - ----- - ------------
         2          2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

       6 ___     6 ___  2/3
       \/ 6    I*\/ 2 *3   
x4 = - ----- + ------------
         2          2      

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

     6 ___     6 ___  2/3
     \/ 6    I*\/ 2 *3   
x5 = ----- - ------------
       2          2      

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

     6 ___     6 ___  2/3
     \/ 6    I*\/ 2 *3   
x6 = ----- + ------------
       2          2      

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      6 ___     6 ___  2/3     6 ___     6 ___  2/3   6 ___     6 ___  2/3   6 ___     6 ___  2/3
    6 ___   6 ___     \/ 6    I*\/ 2 *3        \/ 6    I*\/ 2 *3      \/ 6    I*\/ 2 *3      \/ 6    I*\/ 2 *3   
0 - \/ 6  + \/ 6  + - ----- - ------------ + - ----- + ------------ + ----- - ------------ + ----- + ------------
                        2          2             2          2           2          2           2          2      

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[6]{6} + 0\right) + \sqrt[6]{6}\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

               /  6 ___     6 ___  2/3\ /  6 ___     6 ___  2/3\ /6 ___     6 ___  2/3\ /6 ___     6 ___  2/3\
   6 ___ 6 ___ |  \/ 6    I*\/ 2 *3   | |  \/ 6    I*\/ 2 *3   | |\/ 6    I*\/ 2 *3   | |\/ 6    I*\/ 2 *3   |
1*-\/ 6 *\/ 6 *|- ----- - ------------|*|- ----- + ------------|*|----- - ------------|*|----- + ------------|
               \    2          2      / \    2          2      / \  2          2      / \  2          2      /

$$\sqrt[6]{6} \cdot 1 \left(- \sqrt[6]{6}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{6}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{6}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

-6

$$-6$$

Численный ответ

x1 = -0.674003077298639 - 1.16740757433902*i

x2 = 0.674003077298639 - 1.16740757433902*i

x3 = -0.674003077298639 + 1.16740757433902*i

x4 = 0.674003077298639 + 1.16740757433902*i

x5 = 1.34800615459728

x6 = -1.34800615459728

График