x^6-18=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6-18=0

Вы ввели

 6         
x  - 18 = 0

$$x^{6} - 18 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} - 18 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{18}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{18} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x = - \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/6*3^1/3

Получим ответ: x = 2^(1/6)*3^(1/3)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/6*3^1/3

Получим ответ: x = -2^(1/6)*3^(1/3)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 18$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 18$$
где
$$r = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Быстрый ответ

      6 ___ 3 ___
x1 = -\/ 2 *\/ 3 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$

     6 ___ 3 ___
x2 = \/ 2 *\/ 3 

$$x_{2} = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$

       6 ___ 3 ___     6 ___  5/6
       \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   
x3 = - ----------- - ------------
            2             2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

       6 ___ 3 ___     6 ___  5/6
       \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   
x4 = - ----------- + ------------
            2             2      

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

     6 ___ 3 ___     6 ___  5/6
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   
x5 = ----------- - ------------
          2             2      

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

     6 ___ 3 ___     6 ___  5/6
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   
x6 = ----------- + ------------
          2             2      

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                  6 ___ 3 ___     6 ___  5/6     6 ___ 3 ___     6 ___  5/6   6 ___ 3 ___     6 ___  5/6   6 ___ 3 ___     6 ___  5/6
    6 ___ 3 ___   6 ___ 3 ___     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3        \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3      \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3      \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   
0 - \/ 2 *\/ 3  + \/ 2 *\/ 3  + - ----------- - ------------ + - ----------- + ------------ + ----------- - ------------ + ----------- + ------------
                                       2             2                2             2              2             2              2             2      

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3} + 0\right) + \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                           /  6 ___ 3 ___     6 ___  5/6\ /  6 ___ 3 ___     6 ___  5/6\ /6 ___ 3 ___     6 ___  5/6\ /6 ___ 3 ___     6 ___  5/6\
   6 ___ 3 ___ 6 ___ 3 ___ |  \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   | |  \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   | |\/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   | |\/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *3   |
1*-\/ 2 *\/ 3 *\/ 2 *\/ 3 *|- ----------- - ------------|*|- ----------- + ------------|*|----------- - ------------|*|----------- + ------------|
                           \       2             2      / \       2             2      / \     2             2      / \     2             2      /

$$\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 1 \left(- \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

-18

$$-18$$

Численный ответ

x1 = 1.61887040686057

x2 = 0.809435203430283 - 1.4019828977761*i

x3 = -0.809435203430283 - 1.4019828977761*i

x4 = -0.809435203430283 + 1.4019828977761*i

x5 = 0.809435203430283 + 1.4019828977761*i

x6 = -1.61887040686057

График