x^6+2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6+2=0

Вы ввели

 6        
x  + 2 = 0

$$x^{6} + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} + 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -2 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

        6 ___
x1 = -I*\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$

       6 ___
x2 = I*\/ 2 

$$x_{2} = \sqrt[6]{2} i$$

         6 ___   6 ___   ___
       I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
x3 = - ------- - -----------
          2           2     

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

       6 ___   6 ___   ___
     I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
x4 = ------- - -----------
        2           2     

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

     6 ___   ___     6 ___
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 
x5 = ----------- - -------
          2           2   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

       6 ___   6 ___   ___
     I*\/ 2    \/ 2 *\/ 3 
x6 = ------- + -----------
        2           2     

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.972080648619833 - 0.561231024154687*i

x2 = -1.12246204830937*i

x3 = 0.972080648619833 + 0.561231024154687*i

x4 = 0.972080648619833 - 0.561231024154687*i

x5 = 1.12246204830937*i

x6 = -0.972080648619833 + 0.561231024154687*i

График