x^6+27=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6+27=0

Вы ввели

 6         
x  + 27 = 0

$$x^{6} + 27 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} + 27 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -27 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -27$$
где
$$r = \sqrt{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{3} i$$
$$z_{2} = \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{3} i$$
$$x_{2} = \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

          ___
x1 = -I*\/ 3 

$$x_{1} = - \sqrt{3} i$$

         ___
x2 = I*\/ 3 

$$x_{2} = \sqrt{3} i$$

               ___
       3   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       3   I*\/ 3 
x4 = - - + -------
       2      2   

$$x_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     3   I*\/ 3 
x5 = - - -------
     2      2   

$$x_{5} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     3   I*\/ 3 
x6 = - + -------
     2      2   

$$x_{6} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                ___             ___           ___           ___
      ___       ___     3   I*\/ 3      3   I*\/ 3    3   I*\/ 3    3   I*\/ 3 
- I*\/ 3  + I*\/ 3  + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
                        2      2        2      2      2      2      2      2   

$$\left(\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \sqrt{3} i + \sqrt{3} i\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /          ___\ /          ___\ /        ___\ /        ___\
     ___     ___ |  3   I*\/ 3 | |  3   I*\/ 3 | |3   I*\/ 3 | |3   I*\/ 3 |
-I*\/ 3 *I*\/ 3 *|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------|
                 \  2      2   / \  2      2   / \2      2   / \2      2   /

$$- \sqrt{3} i \sqrt{3} i \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

27

$$27$$

Численный ответ

x1 = -1.5 - 0.866025403784439*i

x2 = 1.5 + 0.866025403784439*i

x3 = 1.5 - 0.866025403784439*i

x4 = -1.5 + 0.866025403784439*i

x5 = -1.73205080756888*i

x6 = 1.73205080756888*i