x^6+125=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6+125=0

Вы ввели

 6          
x  + 125 = 0

$$x^{6} + 125 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} + 125 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -125 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -125$$
где
$$r = \sqrt{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{5} i$$
$$z_{2} = \sqrt{5} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{5} i$$
$$x_{2} = \sqrt{5} i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$

Быстрый ответ

          ___
x1 = -I*\/ 5 

$$x_{1} = - \sqrt{5} i$$

         ___
x2 = I*\/ 5 

$$x_{2} = \sqrt{5} i$$

         ____       ___
       \/ 15    I*\/ 5 
x3 = - ------ - -------
         2         2   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}$$

         ____       ___
       \/ 15    I*\/ 5 
x4 = - ------ + -------
         2         2   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$

       ____       ___
     \/ 15    I*\/ 5 
x5 = ------ - -------
       2         2   

$$x_{5} = \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}$$

       ____       ___
     \/ 15    I*\/ 5 
x6 = ------ + -------
       2         2   

$$x_{6} = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                          ____       ___       ____       ___     ____       ___     ____       ___
      ___       ___     \/ 15    I*\/ 5      \/ 15    I*\/ 5    \/ 15    I*\/ 5    \/ 15    I*\/ 5 
- I*\/ 5  + I*\/ 5  + - ------ - ------- + - ------ + ------- + ------ - ------- + ------ + -------
                          2         2          2         2        2         2        2         2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}\right) + \left(- \sqrt{5} i + \sqrt{5} i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /    ____       ___\ /    ____       ___\ /  ____       ___\ /  ____       ___\
     ___     ___ |  \/ 15    I*\/ 5 | |  \/ 15    I*\/ 5 | |\/ 15    I*\/ 5 | |\/ 15    I*\/ 5 |
-I*\/ 5 *I*\/ 5 *|- ------ - -------|*|- ------ + -------|*|------ - -------|*|------ + -------|
                 \    2         2   / \    2         2   / \  2         2   / \  2         2   /

$$- \sqrt{5} i \sqrt{5} i \left(- \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{5} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2}\right)$$

=

125

$$125$$

Численный ответ

x1 = -1.93649167310371 - 1.11803398874989*i

x2 = 1.93649167310371 + 1.11803398874989*i

x3 = 1.93649167310371 - 1.11803398874989*i

x4 = -1.93649167310371 + 1.11803398874989*i

x5 = 2.23606797749979*i

x6 = -2.23606797749979*i

График