x^6=-729 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=-729

Вы ввели

 6       
x  = -729

$$x^{6} = -729$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = -729$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -729 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -729$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -729$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 3 i$$
$$z_{2} = 3 i$$
$$z_{3} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 3 i$$
$$x_{2} = 3 i$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -3*I

$$x_{1} = - 3 i$$

x2 = 3*I

$$x_{2} = 3 i$$

                 ___
       3*I   3*\/ 3 
x3 = - --- - -------
        2       2   

$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

           ___      
       3*\/ 3    3*I
x4 = - ------- + ---
          2       2 

$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$

                 ___
       3*I   3*\/ 3 
x5 = - --- + -------
        2       2   

$$x_{5} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

               ___
     3*I   3*\/ 3 
x6 = --- + -------
      2       2   

$$x_{6} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            ___         ___                     ___             ___
                  3*I   3*\/ 3      3*\/ 3    3*I     3*I   3*\/ 3    3*I   3*\/ 3 
0 - 3*I + 3*I + - --- - ------- + - ------- + --- + - --- + ------- + --- + -------
                   2       2           2       2       2       2       2       2   

$$\left(\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + \left(\left(0 - 3 i\right) + 3 i\right)\right) - \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

           /            ___\ /      ___      \ /            ___\ /          ___\
           |  3*I   3*\/ 3 | |  3*\/ 3    3*I| |  3*I   3*\/ 3 | |3*I   3*\/ 3 |
1*-3*I*3*I*|- --- - -------|*|- ------- + ---|*|- --- + -------|*|--- + -------|
           \   2       2   / \     2       2 / \   2       2   / \ 2       2   /

$$3 i 1 \left(- 3 i\right) \left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right)$$

=

729

$$729$$

Численный ответ

x1 = -3.0*i

x2 = -2.59807621135332 - 1.5*i

x3 = 2.59807621135332 + 1.5*i

x4 = 2.59807621135332 - 1.5*i

x5 = -2.59807621135332 + 1.5*i

x6 = 3.0*i

График