x^6=-64 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=-64

Вы ввели

 6      
x  = -64

$$x^{6} = -64$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = -64$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -64 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -64$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -64$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = 2 i$$
$$z_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{4} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{5} = \sqrt{3} - i$$
$$z_{6} = \sqrt{3} + i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 i$$
$$x_{2} = 2 i$$
$$x_{3} = - \sqrt{3} - i$$
$$x_{4} = - \sqrt{3} + i$$
$$x_{5} = \sqrt{3} - i$$
$$x_{6} = \sqrt{3} + i$$

Быстрый ответ

x1 = -2*I

$$x_{1} = - 2 i$$

x2 = 2*I

$$x_{2} = 2 i$$

            ___
x3 = -I - \/ 3 

$$x_{3} = - \sqrt{3} - i$$

           ___
x4 = I - \/ 3 

$$x_{4} = - \sqrt{3} + i$$

       ___    
x5 = \/ 3  - I

$$x_{5} = \sqrt{3} - i$$

           ___
x6 = I + \/ 3 

$$x_{6} = \sqrt{3} + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                       ___         ___     ___             ___
0 - 2*I + 2*I + -I - \/ 3  + I - \/ 3  + \/ 3  - I + I + \/ 3 

$$\left(\left(\sqrt{3} - i\right) + \left(\left(\left(- \sqrt{3} - i\right) + \left(\left(0 - 2 i\right) + 2 i\right)\right) - \left(\sqrt{3} - i\right)\right)\right) + \left(\sqrt{3} + i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

           /       ___\ /      ___\ /  ___    \ /      ___\
1*-2*I*2*I*\-I - \/ 3 /*\I - \/ 3 /*\\/ 3  - I/*\I + \/ 3 /

$$2 i 1 \left(- 2 i\right) \left(- \sqrt{3} - i\right) \left(- \sqrt{3} + i\right) \left(\sqrt{3} - i\right) \left(\sqrt{3} + i\right)$$

=

64

$$64$$

Численный ответ

x1 = 2.0*i

x2 = -1.73205080756888 - 1.0*i

x3 = 1.73205080756888 - 1.0*i

x4 = -1.73205080756888 + 1.0*i

x5 = 1.73205080756888 + 1.0*i

x6 = -2.0*i

График