x^6=-16 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=-16

Вы ввели

 6      
x  = -16

$$x^{6} = -16$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = -16$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -16$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Быстрый ответ

         2/3
x1 = -I*2   

$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$

        2/3
x2 = I*2   

$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$

          2/3    2/3   ___
       I*2      2   *\/ 3 
x3 = - ------ - ----------
         2          2     

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

        2/3    2/3   ___
     I*2      2   *\/ 3 
x4 = ------ - ----------
       2          2     

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

      2/3   ___      2/3
     2   *\/ 3    I*2   
x5 = ---------- - ------
         2          2   

$$x_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

        2/3    2/3   ___
     I*2      2   *\/ 3 
x6 = ------ + ----------
       2          2     

$$x_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                           2/3    2/3   ___      2/3    2/3   ___    2/3   ___      2/3      2/3    2/3   ___
       2/3      2/3     I*2      2   *\/ 3    I*2      2   *\/ 3    2   *\/ 3    I*2      I*2      2   *\/ 3 
0 - I*2    + I*2    + - ------ - ---------- + ------ - ---------- + ---------- - ------ + ------ + ----------
                          2          2          2          2            2          2        2          2     

$$\left(\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\left(0 - 2^{\frac{2}{3}} i\right) + 2^{\frac{2}{3}} i\right)\right) - \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /     2/3    2/3   ___\ /   2/3    2/3   ___\ / 2/3   ___      2/3\ /   2/3    2/3   ___\
      2/3    2/3 |  I*2      2   *\/ 3 | |I*2      2   *\/ 3 | |2   *\/ 3    I*2   | |I*2      2   *\/ 3 |
1*-I*2   *I*2   *|- ------ - ----------|*|------ - ----------|*|---------- - ------|*|------ + ----------|
                 \    2          2     / \  2          2     / \    2          2   / \  2          2     /

$$2^{\frac{2}{3}} i 1 \left(- 2^{\frac{2}{3}} i\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

16

$$16$$

Численный ответ

x1 = 1.3747296369986 - 0.7937005259841*i

x2 = 1.5874010519682*i

x3 = -1.3747296369986 - 0.7937005259841*i

x4 = -1.3747296369986 + 0.7937005259841*i

x5 = -1.5874010519682*i

x6 = 1.3747296369986 + 0.7937005259841*i

График