x^6=11 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=11

Вы ввели

 6     
x  = 11

$$x^{6} = 11$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = 11$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{11}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{11} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt[6]{11}$$
$$x = - \sqrt[6]{11}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 11^1/6

Получим ответ: x = 11^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -11^1/6

Получим ответ: x = -11^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{11}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{11}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 11$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 11$$
где
$$r = \sqrt[6]{11}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{11}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{11}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{11}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{11}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

      6 ____
x1 = -\/ 11 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{11}$$

     6 ____
x2 = \/ 11 

$$x_{2} = \sqrt[6]{11}$$

       6 ____       ___ 6 ____
       \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 
x3 = - ------ - --------------
         2            2       

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$

       6 ____       ___ 6 ____
       \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 
x4 = - ------ + --------------
         2            2       

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$

     6 ____       ___ 6 ____
     \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 
x5 = ------ - --------------
       2            2       

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$

     6 ____       ___ 6 ____
     \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 
x6 = ------ + --------------
       2            2       

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                        6 ____       ___ 6 ____     6 ____       ___ 6 ____   6 ____       ___ 6 ____   6 ____       ___ 6 ____
    6 ____   6 ____     \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11      \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11    \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11    \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 
0 - \/ 11  + \/ 11  + - ------ - -------------- + - ------ + -------------- + ------ - -------------- + ------ + --------------
                          2            2              2            2            2            2            2            2       

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[6]{11} + 0\right) + \sqrt[6]{11}\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /  6 ____       ___ 6 ____\ /  6 ____       ___ 6 ____\ /6 ____       ___ 6 ____\ /6 ____       ___ 6 ____\
   6 ____ 6 ____ |  \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 | |  \/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 | |\/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 | |\/ 11    I*\/ 3 *\/ 11 |
1*-\/ 11 *\/ 11 *|- ------ - --------------|*|- ------ + --------------|*|------ - --------------|*|------ + --------------|
                 \    2            2       / \    2            2       / \  2            2       / \  2            2       /

$$\sqrt[6]{11} \cdot 1 \left(- \sqrt[6]{11}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{11}}{2} - \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{11}}{2} + \frac{\sqrt[6]{11} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-11

$$-11$$

Численный ответ

x1 = -0.745650737706554 - 1.29150496240897*i

x2 = -0.745650737706554 + 1.29150496240897*i

x3 = 0.745650737706554 + 1.29150496240897*i

x4 = 1.49130147541311

x5 = -1.49130147541311

x6 = 0.745650737706554 - 1.29150496240897*i

График