x^6=5 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=5

Вы ввели

 6    
x  = 5

$$x^{6} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{5}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{5}$$
или
$$x = \sqrt[6]{5}$$
$$x = - \sqrt[6]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/6

Получим ответ: x = 5^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^1/6

Получим ответ: x = -5^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[6]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      6 ___       ___ 6 ___     6 ___       ___ 6 ___   6 ___       ___ 6 ___   6 ___       ___ 6 ___
    6 ___   6 ___     \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5      \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5    \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5    \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
0 - \/ 5  + \/ 5  + - ----- - ------------- + - ----- + ------------- + ----- - ------------- + ----- + -------------
                        2           2             2           2           2           2           2           2      

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[6]{5} + 0\right) + \sqrt[6]{5}\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

               /  6 ___       ___ 6 ___\ /  6 ___       ___ 6 ___\ /6 ___       ___ 6 ___\ /6 ___       ___ 6 ___\
   6 ___ 6 ___ |  \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 | |  \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 | |\/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 | |\/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 |
1*-\/ 5 *\/ 5 *|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|*|----- - -------------|*|----- + -------------|
               \    2           2      / \    2           2      / \  2           2      / \  2           2      /

$$\sqrt[6]{5} \cdot 1 \left(- \sqrt[6]{5}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right)$$

=

-5

$$-5$$

Быстрый ответ

      6 ___
x1 = -\/ 5 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$

     6 ___
x2 = \/ 5 

$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$

       6 ___       ___ 6 ___
       \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x3 = - ----- - -------------
         2           2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$

       6 ___       ___ 6 ___
       \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x4 = - ----- + -------------
         2           2      

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$

     6 ___       ___ 6 ___
     \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x5 = ----- - -------------
       2           2      

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$

     6 ___       ___ 6 ___
     \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
x6 = ----- + -------------
       2           2      

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.653830243005915 - 1.13246720041135*i

x2 = 1.30766048601183

x3 = 0.653830243005915 + 1.13246720041135*i

x4 = -1.30766048601183

x5 = -0.653830243005915 + 1.13246720041135*i

x6 = -0.653830243005915 - 1.13246720041135*i

График