x^6=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=3

Вы ввели

 6    
x  = 3

$$x^{6} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = 3$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{3}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{3}$$
или
$$x = \sqrt[6]{3}$$
$$x = - \sqrt[6]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 3^1/6

Получим ответ: x = 3^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -3^1/6

Получим ответ: x = -3^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 3$$
где
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Быстрый ответ

      6 ___
x1 = -\/ 3 

$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$

     6 ___
x2 = \/ 3 

$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$

       6 ___      2/3
       \/ 3    I*3   
x3 = - ----- - ------
         2       2   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

       6 ___      2/3
       \/ 3    I*3   
x4 = - ----- + ------
         2       2   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

     6 ___      2/3
     \/ 3    I*3   
x5 = ----- - ------
       2       2   

$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

     6 ___      2/3
     \/ 3    I*3   
x6 = ----- + ------
       2       2   

$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      6 ___      2/3     6 ___      2/3   6 ___      2/3   6 ___      2/3
    6 ___   6 ___     \/ 3    I*3        \/ 3    I*3      \/ 3    I*3      \/ 3    I*3   
0 - \/ 3  + \/ 3  + - ----- - ------ + - ----- + ------ + ----- - ------ + ----- + ------
                        2       2          2       2        2       2        2       2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[6]{3} + 0\right) + \sqrt[6]{3}\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

               /  6 ___      2/3\ /  6 ___      2/3\ /6 ___      2/3\ /6 ___      2/3\
   6 ___ 6 ___ |  \/ 3    I*3   | |  \/ 3    I*3   | |\/ 3    I*3   | |\/ 3    I*3   |
1*-\/ 3 *\/ 3 *|- ----- - ------|*|- ----- + ------|*|----- - ------|*|----- + ------|
               \    2       2   / \    2       2   / \  2       2   / \  2       2   /

$$\sqrt[6]{3} \cdot 1 \left(- \sqrt[6]{3}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

-3

$$-3$$

Численный ответ

x1 = 0.600468477588001 + 1.04004191152595*i

x2 = 1.200936955176

x3 = 0.600468477588001 - 1.04004191152595*i

x4 = -1.200936955176

x5 = -0.600468477588001 - 1.04004191152595*i

x6 = -0.600468477588001 + 1.04004191152595*i

График