x^6=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^6=8

Вы ввели

 6    
x  = 8

$$x^{6} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{6} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{8}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{8} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt{2}$$
$$x = - \sqrt{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = sqrt2

Получим ответ: x = sqrt(2)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -sqrt2

Получим ответ: x = -sqrt(2)
или
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 8$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{2}$$
$$z_{2} = \sqrt{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

Быстрый ответ

        ___
x1 = -\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt{2}$$

       ___
x2 = \/ 2 

$$x_{2} = \sqrt{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 6 
x3 = - ----- - -------
         2        2   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 6 
x4 = - ----- + -------
         2        2   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 6 
x5 = ----- - -------
       2        2   

$$x_{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 6 
x6 = ----- + -------
       2        2   

$$x_{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                        ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
      ___     ___     \/ 2    I*\/ 6      \/ 2    I*\/ 6    \/ 2    I*\/ 6    \/ 2    I*\/ 6 
0 - \/ 2  + \/ 2  + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
                        2        2          2        2        2        2        2        2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt{2} + 0\right) + \sqrt{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

               /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
     ___   ___ |  \/ 2    I*\/ 6 | |  \/ 2    I*\/ 6 | |\/ 2    I*\/ 6 | |\/ 2    I*\/ 6 |
1*-\/ 2 *\/ 2 *|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
               \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /

$$\sqrt{2} \cdot 1 \left(- \sqrt{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$

=

-8

$$-8$$

Численный ответ

x1 = 0.707106781186548 - 1.22474487139159*i

x2 = 1.4142135623731

x3 = -0.707106781186548 + 1.22474487139159*i

x4 = 0.707106781186548 + 1.22474487139159*i

x5 = -1.4142135623731

x6 = -0.707106781186548 - 1.22474487139159*i

График