x^3-2x-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-2x-1=0

Вы ввели

 3              
x  - 2*x - 1 = 0

$$x^{3} - 2 x - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} - 2 x - 1 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 2 x + \left(1 x^{3} + 1\right)\right) - 2 = 0$$
или
$$\left(- 2 x + \left(1 x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right)\right) - 2 = 0$$
$$- 2 \left(x + 1\right) + 1 \left(x^{3} - \left(-1\right)^{3}\right) = 0$$
$$1 \left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) - 2 \left(x + 1\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 1\right) \left(1 \left(\left(x^{2} - x\right) + \left(-1\right)^{2}\right) - 2\right) = 0$$
или
$$\left(x + 1\right) \left(x^{2} - x - 1\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -1$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} - x - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 - 2*x - 1*1) + 0 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

           ___
     1   \/ 5 
x2 = - - -----
     2     2  

$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

           ___
     1   \/ 5 
x3 = - + -----
     2     2  

$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___         ___
        1   \/ 5    1   \/ 5 
0 - 1 + - - ----- + - + -----
        2     2     2     2  

$$\left(\left(-1 + 0\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     /      ___\ /      ___\
     |1   \/ 5 | |1   \/ 5 |
1*-1*|- - -----|*|- + -----|
     \2     2  / \2     2  /

$$1 \left(-1\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -2$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -2$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -1$$

Численный ответ

x1 = 1.61803398874989

x2 = -1.0

x3 = -0.618033988749895

График