x^3-12=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-12=0

Вы ввели

 3         
x  - 12 = 0

$$x^{3} - 12 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} - 12 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{12}$$
или
$$x = \sqrt[3]{12}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 12^1/3

Получим ответ: x = 12^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 12$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 12$$
где
$$r = \sqrt[3]{12}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{12}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{12}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ____
x1 = \/ 12 

$$x_{1} = \sqrt[3]{12}$$

       3 ____      2/3  5/6
       \/ 12    I*2   *3   
x2 = - ------ - -----------
         2           2     

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

       3 ____      2/3  5/6
       \/ 12    I*2   *3   
x3 = - ------ + -----------
         2           2     

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               3 ____      2/3  5/6     3 ____      2/3  5/6
    3 ____     \/ 12    I*2   *3        \/ 12    I*2   *3   
0 + \/ 12  + - ------ - ----------- + - ------ + -----------
                 2           2            2           2     

$$\left(\left(0 + \sqrt[3]{12}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /  3 ____      2/3  5/6\ /  3 ____      2/3  5/6\
  3 ____ |  \/ 12    I*2   *3   | |  \/ 12    I*2   *3   |
1*\/ 12 *|- ------ - -----------|*|- ------ + -----------|
         \    2           2     / \    2           2     /

$$1 \cdot \sqrt[3]{12} \left(- \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

12

$$12$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -12$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -12$$

Численный ответ

x1 = 2.28942848510666

x2 = -1.14471424255333 + 1.98270322825009*i

x3 = -1.14471424255333 - 1.98270322825009*i

График