x^3-49=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-49=0

Вы ввели

 3         
x  - 49 = 0

$$x^{3} - 49 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} - 49 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{49}$$
или
$$x = 7^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 7^2/3

Получим ответ: x = 7^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 49$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 49$$
где
$$r = 7^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 7^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 7^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Быстрый ответ

      2/3
x1 = 7   

$$x_{1} = 7^{\frac{2}{3}}$$

        2/3       ___  2/3
       7      I*\/ 3 *7   
x2 = - ---- - ------------
        2          2      

$$x_{2} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

        2/3       ___  2/3
       7      I*\/ 3 *7   
x3 = - ---- + ------------
        2          2      

$$x_{3} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          2/3       ___  2/3      2/3       ___  2/3
 2/3     7      I*\/ 3 *7        7      I*\/ 3 *7   
7    + - ---- - ------------ + - ---- + ------------
          2          2            2          2      

$$\left(7^{\frac{2}{3}} + \left(- \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     /   2/3       ___  2/3\ /   2/3       ___  2/3\
 2/3 |  7      I*\/ 3 *7   | |  7      I*\/ 3 *7   |
7   *|- ---- - ------------|*|- ---- + ------------|
     \   2          2      / \   2          2      /

$$7^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 7^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$

=

49

$$49$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -49$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -49$$

Численный ответ

x1 = 3.65930571002297

x2 = -1.82965285501149 + 3.16905170509335*i

x3 = -1.82965285501149 - 3.16905170509335*i

График