x^3-x+6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-x+6=0

Вы ввели

 3            
x  - x + 6 = 0

$$\left(x^{3} - x\right) + 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x^{3} - x\right) + 6 = 0$$
преобразуем
$$\left(- x + \left(x^{3} + 8\right)\right) - 2 = 0$$
или
$$\left(- x + \left(x^{3} - \left(-2\right)^{3}\right)\right) - 2 = 0$$
$$- (x + 2) + \left(x^{3} - \left(-2\right)^{3}\right) = 0$$
$$\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \left(-2\right)^{2}\right) - \left(x + 2\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 2 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 2\right) \left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \left(-2\right)^{2}\right) - 1\right) = 0$$
или
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 2 x + 3\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} - 2 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (3) = -8

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2} i$$
Упростить
$$x_{3} = 1 - \sqrt{2} i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для x^3 - x + 6 = 0:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2} i$$
$$x_{3} = 1 - \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

             ___
x2 = 1 - I*\/ 2 

$$x_{2} = 1 - \sqrt{2} i$$

             ___
x3 = 1 + I*\/ 2 

$$x_{3} = 1 + \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___           ___
-2 + 1 - I*\/ 2  + 1 + I*\/ 2 

$$\left(-2 + \left(1 - \sqrt{2} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{2} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

   /        ___\ /        ___\
-2*\1 - I*\/ 2 /*\1 + I*\/ 2 /

$$- 2 \left(1 - \sqrt{2} i\right) \left(1 + \sqrt{2} i\right)$$

=

-6

$$-6$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 6$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -1$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 6$$

Численный ответ

x1 = 1.0 + 1.4142135623731*i

x2 = -2.0

x3 = 1.0 - 1.4142135623731*i

График