x^3+6x^2+12x+9=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+6x^2+12x+9=0

Вы ввели

 3      2               
x  + 6*x  + 12*x + 9 = 0

$$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 9 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 9 = 0$$
преобразуем
$$\left(12 x - \left(- x^{3} - 6 x^{2} + 27\right)\right) + 36 = 0$$
или
$$\left(12 x - \left(- x^{3} - 6 x^{2} - 27 + 54\right)\right) - -36 = 0$$
$$12 \left(x + 3\right) + \left(6 \left(x^{2} - \left(-3\right)^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$12 \left(x + 3\right) + \left(\left(x - 3\right) 6 \left(x + 3\right) + 1 \left(x + 3\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 3 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 3\right) \left(\left(6 \left(x - 3\right) + 1 \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) + 12\right) = 0$$
или
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 3\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -3$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 3 x + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (1) * (3) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 6*x^2 + 12*x + 9) + 0 = 0:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -3

$$x_{1} = -3$$

               ___
       3   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       3   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
          3   I*\/ 3      3   I*\/ 3 
0 - 3 + - - - ------- + - - + -------
          2      2        2      2   

$$\left(\left(-3 + 0\right) - \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-6

$$-6$$

произведение

     /          ___\ /          ___\
     |  3   I*\/ 3 | |  3   I*\/ 3 |
1*-3*|- - - -------|*|- - + -------|
     \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \left(-3\right) \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-9

$$-9$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 6$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 12$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 9$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -6$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 12$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 9$$

Численный ответ

x1 = -1.5 - 0.866025403784439*i

x2 = -1.5 + 0.866025403784439*i

x3 = -3.0

График