x^3 + 4 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3 + 4 = 0

Вы ввели

 3        
x  + 4 = 0

$$x^{3} + 4 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 4 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-4}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -1^1/3*2^2/3

Получим ответ: x = (-1)^(1/3)*2^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -4$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

       2/3
x1 = -2   

$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$

      2/3      2/3   ___
     2      I*2   *\/ 3 
x2 = ---- - ------------
      2          2      

$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

      2/3      2/3   ___
     2      I*2   *\/ 3 
x3 = ---- + ------------
      2          2      

$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.7937005259841 - 1.3747296369986*i

x2 = 0.7937005259841 + 1.3747296369986*i

x3 = -1.5874010519682

График