x^3+9=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+9=0

Вы ввели

 3        
x  + 9 = 0

$$x^{3} + 9 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 9 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-9}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-1} \cdot 3^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -1^1/3*3^2/3

Получим ответ: x = (-1)^(1/3)*3^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -9$$
где
$$r = 3^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

       2/3
x1 = -3   

$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}}$$

      2/3       6 ___
     3      3*I*\/ 3 
x2 = ---- - ---------
      2         2    

$$x_{2} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$

      2/3       6 ___
     3      3*I*\/ 3 
x3 = ---- + ---------
      2         2    

$$x_{3} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.04004191152595 + 1.801405432764*i

x2 = 1.04004191152595 - 1.801405432764*i

x3 = -2.0800838230519

График