x^3+24=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+24=0

Вы ввели

 3         
x  + 24 = 0

$$x^{3} + 24 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 24 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-24}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2*3^1/3

Получим ответ: x = 2*(-3)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -24$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -24$$
где
$$r = 2 \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i$$
$$x_{3} = \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i$$

Быстрый ответ

        3 ___
x1 = -2*\/ 3 

$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{3}$$

     3 ___      5/6
x2 = \/ 3  - I*3   

$$x_{2} = \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i$$

     3 ___      5/6
x3 = \/ 3  + I*3   

$$x_{3} = \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      3 ___   3 ___      5/6   3 ___      5/6
0 - 2*\/ 3  + \/ 3  - I*3    + \/ 3  + I*3   

$$\left(\left(- 2 \cdot \sqrt[3]{3} + 0\right) + \left(\sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right)\right) + \left(\sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     3 ___ /3 ___      5/6\ /3 ___      5/6\
1*-2*\/ 3 *\\/ 3  - I*3   /*\\/ 3  + I*3   /

$$1 \left(- 2 \cdot \sqrt[3]{3}\right) \left(\sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \left(\sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right)$$

=

-24

$$-24$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 24$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 24$$

Численный ответ

x1 = 1.44224957030741 + 2.49804953296681*i

x2 = 1.44224957030741 - 2.49804953296681*i

x3 = -2.88449914061482

График