x^3+7=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+7=0

Вы ввели

 3        
x  + 7 = 0

$$x^{3} + 7 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 7 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-7}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-7}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -7^1/3

Получим ответ: x = (-7)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -7$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -7$$
где
$$r = \sqrt[3]{7}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$

Быстрый ответ

      3 ___
x1 = -\/ 7 

$$x_{1} = - \sqrt[3]{7}$$

     3 ___       ___ 3 ___
     \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 
x2 = ----- - -------------
       2           2      

$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$

     3 ___       ___ 3 ___
     \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 
x3 = ----- + -------------
       2           2      

$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            3 ___       ___ 3 ___   3 ___       ___ 3 ___
    3 ___   \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7    \/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 
0 - \/ 7  + ----- - ------------- + ----- + -------------
              2           2           2           2      

$$\left(\left(- \sqrt[3]{7} + 0\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /3 ___       ___ 3 ___\ /3 ___       ___ 3 ___\
   3 ___ |\/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 | |\/ 7    I*\/ 3 *\/ 7 |
1*-\/ 7 *|----- - -------------|*|----- + -------------|
         \  2           2      / \  2           2      /

$$1 \left(- \sqrt[3]{7}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$

=

-7

$$-7$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 7$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 7$$

Численный ответ

x1 = 0.956465591386195 - 1.6566469999723*i

x2 = -1.91293118277239

x3 = 0.956465591386195 + 1.6566469999723*i

График