Решение уравнений/ Любые/ x^3+125=0

x^3+125=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^3+125=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     3          
x  + 125 = 0
    x3+125=0x^{3} + 125 = 0
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x3+125=0x^{3} + 125 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x33=−1253\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-125}
    или
    x=5−13x = 5 \sqrt[3]{-1}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -5*1^1/3

    Получим ответ: x = 5*(-1)^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=−125z^{3} = -125
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=−125r^{3} e^{3 i p} = -125
    где
    r=5r = 5
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=−1e^{3 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=−1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1
    значит
    cos⁡(3p)=−1\cos{\left(3 p \right)} = -1
    и
    sin⁡(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3+π3p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=−5z_{1} = -5
    z2=52−53i2z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    z3=52+53i2z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=−5x_{1} = -5
    x2=52−53i2x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    x3=52+53i2x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -5
    x1=−5x_{1} = -5
                   ___
     5   5*I*\/ 3 
x2 = - - ---------
     2       2
    x2=52−53i2x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
                   ___
     5   5*I*\/ 3 
x3 = - + ---------
     2       2
    x3=52+53i2x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                   ___             ___
     5   5*I*\/ 3    5   5*I*\/ 3 
-5 + - - --------- + - + ---------
     2       2       2       2
    (−5+(52−53i2))+(52+53i2)\left(-5 + \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)
    =
    0
    00
    произведение
       /          ___\ /          ___\
   |5   5*I*\/ 3 | |5   5*I*\/ 3 |
-5*|- - ---------|*|- + ---------|
   \2       2    / \2       2    /
    −5(52−53i2)(52+53i2)- 5 \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)
    =
    -125
    −125-125
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    px2+qx+v+x3=0p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=0p = 0
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=0q = 0
    v=dav = \frac{d}{a}
    v=125v = 125
    Формулы Виета
    x1+x2+x3=−px_{1} + x_{2} + x_{3} = - p
    x1x2+x1x3+x2x3=qx_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q
    x1x2x3=vx_{1} x_{2} x_{3} = v
    x1+x2+x3=0x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0
    x1x2+x1x3+x2x3=0x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0
    x1x2x3=125x_{1} x_{2} x_{3} = 125
    Численный ответ [src]
    x1 = -5.0
    x2 = 2.5 - 4.33012701892219*i
    x3 = 2.5 + 4.33012701892219*i