x^3+81=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+81=0

Вы ввели

 3         
x  + 81 = 0

$$x^{3} + 81 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 81 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-81}$$
или
$$x = 3 \sqrt[3]{-3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -3*3^1/3

Получим ответ: x = 3*(-3)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -81$$
где
$$r = 3 \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 3 \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 3 \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Быстрый ответ

        3 ___
x1 = -3*\/ 3 

$$x_{1} = - 3 \sqrt[3]{3}$$

       3 ___        5/6
     3*\/ 3    3*I*3   
x2 = ------- - --------
        2         2    

$$x_{2} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

       3 ___        5/6
     3*\/ 3    3*I*3   
x3 = ------- + --------
        2         2    

$$x_{3} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              3 ___        5/6     3 ___        5/6
    3 ___   3*\/ 3    3*I*3      3*\/ 3    3*I*3   
- 3*\/ 3  + ------- - -------- + ------- + --------
               2         2          2         2    

$$\left(- 3 \sqrt[3]{3} + \left(\frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /  3 ___        5/6\ /  3 ___        5/6\
   3 ___ |3*\/ 3    3*I*3   | |3*\/ 3    3*I*3   |
-3*\/ 3 *|------- - --------|*|------- + --------|
         \   2         2    / \   2         2    /

$$- 3 \sqrt[3]{3} \left(\frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

-81

$$-81$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 81$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 81$$

Численный ответ

x1 = 2.16337435546111 - 3.74707429945022*i

x2 = 2.16337435546111 + 3.74707429945022*i

x3 = -4.32674871092223