x^3+18=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+18=0

Вы ввели

 3         
x  + 18 = 0

$$x^{3} + 18 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} + 18 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-18}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-18}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -18^1/3

Получим ответ: x = (-18)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -18$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -18$$
где
$$r = \sqrt[3]{18}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

       3 ____     3 ___  2/3
       \/ 18    3*\/ 2 *3   
x1 = - ------ - ------------
         4           4      

$$x_{1} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}$$

     3 ____       3 ___ 6 ___
     \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = ------ + ---------------
       2             2       

$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$

       3 ____     3 ___  2/3       3 ___ 6 ___
       \/ 18    3*\/ 2 *3      3*I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = - ------ + ------------ - ---------------
         4           4                2       

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      3 ____     3 ___  2/3   3 ____       3 ___ 6 ___     3 ____     3 ___  2/3       3 ___ 6 ___
      \/ 18    3*\/ 2 *3      \/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3      \/ 18    3*\/ 2 *3      3*I*\/ 2 *\/ 3 
0 + - ------ - ------------ + ------ + --------------- + - ------ + ------------ - ---------------
        4           4           2             2              4           4                2       

$$\left(- \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}\right) + 0\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /  3 ____     3 ___  2/3\ /3 ____       3 ___ 6 ___\ /  3 ____     3 ___  2/3       3 ___ 6 ___\
  |  \/ 18    3*\/ 2 *3   | |\/ 18    3*I*\/ 2 *\/ 3 | |  \/ 18    3*\/ 2 *3      3*I*\/ 2 *\/ 3 |
1*|- ------ - ------------|*|------ + ---------------|*|- ------ + ------------ - ---------------|
  \    4           4      / \  2             2       / \    4           4                2       /

$$\left(\frac{\sqrt[3]{18}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right) 1 \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{18}}{4}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{18}}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

-18

$$-18$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 18$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 18$$

Численный ответ

x1 = 1.31037069710445 - 2.26962862413435*i

x2 = 1.31037069710445 + 2.26962862413435*i

x3 = -2.6207413942089

График