x^3=4/3 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=4/3

Вы ввели

 3      
x  = 4/3

$$x^{3} = \frac{4}{3}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = \frac{4}{3}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{\frac{4}{3}}$$
или
$$x = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 6^2/3/3

Получим ответ: x = 6^(2/3)/3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{4}{3}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{4}{3}$$
где
$$r = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt[6]{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt[6]{3}$$
$$x_{3} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt[6]{3}$$

Быстрый ответ

      2/3
     6   
x1 = ----
      3  

$$x_{1} = \frac{6^{\frac{2}{3}}}{3}$$

        2/3      2/3 6 ___
       6      I*2   *\/ 3 
x2 = - ---- - ------------
        6          2      

$$x_{2} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{6} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt[6]{3}$$

        2/3      2/3 6 ___
       6      I*2   *\/ 3 
x3 = - ---- + ------------
        6          2      

$$x_{3} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} \sqrt[6]{3}$$

Численный ответ

x1 = -0.550321208149 + 0.953184292997*i

x2 = -0.550321208149 - 0.953184292997*i

x3 = 1.10064241630000

График