х^3=22 (уравнение)

Найду корень уравнения: х^3=22

Вы ввели

 3     
x  = 22

$$x^{3} = 22$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = 22$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{22}$$
или
$$x = \sqrt[3]{22}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 22^1/3

Получим ответ: x = 22^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 22$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 22$$
где
$$r = \sqrt[3]{22}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{22}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{22}}{2} - \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{22}}{2} + \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{22}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{22}}{2} - \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{22}}{2} + \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ____
x1 = \/ 22 

$$x_{1} = \sqrt[3]{22}$$

       3 ____       ___ 3 ____
       \/ 22    I*\/ 3 *\/ 22 
x2 = - ------ - --------------
         2            2       

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{22}}{2} - \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}$$

       3 ____       ___ 3 ____
       \/ 22    I*\/ 3 *\/ 22 
x3 = - ------ + --------------
         2            2       

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{22}}{2} + \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           3 ____       ___ 3 ____     3 ____       ___ 3 ____
3 ____     \/ 22    I*\/ 3 *\/ 22      \/ 22    I*\/ 3 *\/ 22 
\/ 22  + - ------ - -------------- + - ------ + --------------
             2            2              2            2       

$$\left(\sqrt[3]{22} + \left(- \frac{\sqrt[3]{22}}{2} - \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{22}}{2} + \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /  3 ____       ___ 3 ____\ /  3 ____       ___ 3 ____\
3 ____ |  \/ 22    I*\/ 3 *\/ 22 | |  \/ 22    I*\/ 3 *\/ 22 |
\/ 22 *|- ------ - --------------|*|- ------ + --------------|
       \    2            2       / \    2            2       /

$$\sqrt[3]{22} \left(- \frac{\sqrt[3]{22}}{2} - \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{22}}{2} + \frac{\sqrt[3]{22} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

22

$$22$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -22$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -22$$

Численный ответ

x1 = 2.80203933065539

x2 = -1.40101966532769 - 2.42663724275071*i

x3 = -1.40101966532769 + 2.42663724275071*i

График