x^3=21 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=21

Вы ввели

 3     
x  = 21

$$x^{3} = 21$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = 21$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{21}$$
или
$$x = \sqrt[3]{21}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 21^1/3

Получим ответ: x = 21^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 21$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 21$$
где
$$r = \sqrt[3]{21}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{21}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{21}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ____
x1 = \/ 21 

$$x_{1} = \sqrt[3]{21}$$

       3 ____      5/6 3 ___
       \/ 21    I*3   *\/ 7 
x2 = - ------ - ------------
         2           2      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$

       3 ____      5/6 3 ___
       \/ 21    I*3   *\/ 7 
x3 = - ------ + ------------
         2           2      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               3 ____      5/6 3 ___     3 ____      5/6 3 ___
    3 ____     \/ 21    I*3   *\/ 7      \/ 21    I*3   *\/ 7 
0 + \/ 21  + - ------ - ------------ + - ------ + ------------
                 2           2             2           2      

$$\left(\left(0 + \sqrt[3]{21}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /  3 ____      5/6 3 ___\ /  3 ____      5/6 3 ___\
  3 ____ |  \/ 21    I*3   *\/ 7 | |  \/ 21    I*3   *\/ 7 |
1*\/ 21 *|- ------ - ------------|*|- ------ + ------------|
         \    2           2      / \    2           2      /

$$1 \cdot \sqrt[3]{21} \left(- \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$

=

21

$$21$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -21$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -21$$

Численный ответ

x1 = -1.37946208819056 + 2.38929842386111*i

x2 = -1.37946208819056 - 2.38929842386111*i

x3 = 2.75892417638112

График