x^3=-0,027 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=-0,027

Вы ввели

 3   -27 
x  = ----
     1000

$$x^{3} = - \frac{27}{1000}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = - \frac{27}{1000}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- \frac{27}{1000}}$$
или
$$x = \frac{3 \sqrt[3]{-1}}{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -3*1^1/3/10

Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/3)/10

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = - \frac{27}{1000}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{27}{1000}$$
где
$$r = \frac{3}{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{3}{10}$$
$$z_{2} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
$$z_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{3}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
$$x_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$

Быстрый ответ

x1 = -3/10

$$x_{1} = - \frac{3}{10}$$

                ___
     3    3*I*\/ 3 
x2 = -- - ---------
     20       20   

$$x_{2} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$

                ___
     3    3*I*\/ 3 
x3 = -- + ---------
     20       20   

$$x_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      ___              ___
           3    3*I*\/ 3    3    3*I*\/ 3 
0 - 3/10 + -- - --------- + -- + ---------
           20       20      20       20   

$$\left(\left(- \frac{3}{10} + 0\right) + \left(\frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}\right)\right) + \left(\frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

        /           ___\ /           ___\
        |3    3*I*\/ 3 | |3    3*I*\/ 3 |
1*-3/10*|-- - ---------|*|-- + ---------|
        \20       20   / \20       20   /

$$1 \left(- \frac{3}{10}\right) \left(\frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}\right) \left(\frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}\right)$$

=

-27 
----
1000

$$- \frac{27}{1000}$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{27}{1000}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{27}{1000}$$

Численный ответ

x1 = 0.15 + 0.259807621135332*i

x2 = -0.3

x3 = 0.15 - 0.259807621135332*i

График