x^3=-0.027 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=-0.027

Вы ввели

 3   -27 
x  = ----
     1000

$$x^{3} = - \frac{27}{1000}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = - \frac{27}{1000}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{- \frac{27}{1000}}$$
или
$$x = \frac{3 \sqrt[3]{-1}}{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -3*1^1/3/10

Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/3)/10

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = - \frac{27}{1000}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - \frac{27}{1000}$$
где
$$r = \frac{3}{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{3}{10}$$
$$z_{2} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
$$z_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{3}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$
$$x_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$

Быстрый ответ

x1 = -3/10

$$x_{1} = - \frac{3}{10}$$

                ___
     3    3*I*\/ 3 
x2 = -- - ---------
     20       20   

$$x_{2} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$

                ___
     3    3*I*\/ 3 
x3 = -- + ---------
     20       20   

$$x_{3} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{3} i}{20}$$

Численный ответ

x1 = 0.15 + 0.259807621135332*i

x2 = -0.3

x3 = 0.15 - 0.259807621135332*i

График