x^3=-8 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=-8

Вы ввели

 3     
x  = -8

$$x^{3} = -8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = -8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2*1^1/3

Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                ___           ___
0 - 2 + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 

$$\left(\left(-2 + 0\right) + \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     /        ___\ /        ___\
1*-2*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /

$$1 \left(-2\right) \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

-8

$$-8$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

             ___
x2 = 1 - I*\/ 3 

$$x_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$

             ___
x3 = 1 + I*\/ 3 

$$x_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 8$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 8$$

Численный ответ

x1 = -2.0

x2 = 1.0 + 1.73205080756888*i

x3 = 1.0 - 1.73205080756888*i

График