x^3=1/4 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=1/4

Вы ввели

 3      
x  = 1/4

$$x^{3} = \frac{1}{4}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = \frac{1}{4}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$
или
$$x = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/3/2

Получим ответ: x = 2^(1/3)/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{1}{4}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{4}$$
где
$$r = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$

Быстрый ответ

     3 ___
     \/ 2 
x1 = -----
       2  

$$x_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = - ----- - -------------
         4           4      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$

       3 ___     3 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = - ----- + -------------
         4           4      

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    3 ___     3 ___     3 ___   ___     3 ___     3 ___   ___
    \/ 2      \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3      \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
0 + ----- + - ----- - ------------- + - ----- + -------------
      2         4           4             4           4      

$$\left(\left(0 + \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  3 ___ /  3 ___     3 ___   ___\ /  3 ___     3 ___   ___\
  \/ 2  |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 |
1*-----*|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|
    2   \    4           4      / \    4           4      /

$$1 \cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{4}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{4}$$

Численный ответ

x1 = -0.314980262473718 - 0.545561817985861*i

x2 = -0.314980262473718 + 0.545561817985861*i

x3 = 0.629960524947437

График