x^3=1/27 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=1/27

Вы ввели

 3       
x  = 1/27

$$x^{3} = \frac{1}{27}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = \frac{1}{27}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$$
или
$$x = \frac{1}{3}$$
Получим ответ: x = 1/3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = \frac{1}{27}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{27}$$
где
$$r = \frac{1}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{1}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

Быстрый ответ

x1 = 1/3

$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       6      6   

$$x_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       6      6   

$$x_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___             ___
            1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + 1/3 + - - - ------- + - - + -------
            6      6        6      6   

$$\left(\left(0 + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)\right) - \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /          ___\ /          ___\
      |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*1/3*|- - - -------|*|- - + -------|
      \  6      6   / \  6      6   /

$$1 \cdot \frac{1}{3} \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$

=

1/27

$$\frac{1}{27}$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{27}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{27}$$

Численный ответ

x1 = -0.166666666666667 + 0.288675134594813*i

x2 = -0.166666666666667 - 0.288675134594813*i

x3 = 0.333333333333333

График