x^3=512 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=512

Вы ввели

 3      
x  = 512

$$x^{3} = 512$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = 512$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{512}$$
или
$$x = 8$$
Получим ответ: x = 8

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 512$$
где
$$r = 8$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 8$$
$$z_{2} = -4 - 4 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -4 + 4 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -4 - 4 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -4 + 4 \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 8

$$x_{1} = 8$$

                ___
x2 = -4 - 4*I*\/ 3 

$$x_{2} = -4 - 4 \sqrt{3} i$$

                ___
x3 = -4 + 4*I*\/ 3 

$$x_{3} = -4 + 4 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                   ___              ___
0 + 8 + -4 - 4*I*\/ 3  + -4 + 4*I*\/ 3 

$$\left(\left(0 + 8\right) - \left(4 + 4 \sqrt{3} i\right)\right) - \left(4 - 4 \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /           ___\ /           ___\
1*8*\-4 - 4*I*\/ 3 /*\-4 + 4*I*\/ 3 /

$$1 \cdot 8 \left(-4 - 4 \sqrt{3} i\right) \left(-4 + 4 \sqrt{3} i\right)$$

=

512

$$512$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -512$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -512$$

Численный ответ

x1 = -4.0 - 6.92820323027551*i

x2 = -4.0 + 6.92820323027551*i

x3 = 8.0

График