x^3=125 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=125

Вы ввели

 3      
x  = 125

$$x^{3} = 125$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{3} = 125$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{125}$$
или
$$x = 5$$
Получим ответ: x = 5

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 125$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 5$$
$$z_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___               ___
          5   5*I*\/ 3      5   5*I*\/ 3 
0 + 5 + - - - --------- + - - + ---------
          2       2         2       2    

$$\left(\left(0 + 5\right) - \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /            ___\ /            ___\
    |  5   5*I*\/ 3 | |  5   5*I*\/ 3 |
1*5*|- - - ---------|*|- - + ---------|
    \  2       2    / \  2       2    /

$$1 \cdot 5 \left(- \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

125

$$125$$

Быстрый ответ

x1 = 5

$$x_{1} = 5$$

                 ___
       5   5*I*\/ 3 
x2 = - - - ---------
       2       2    

$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

                 ___
       5   5*I*\/ 3 
x3 = - - + ---------
       2       2    

$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -125$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -125$$

Численный ответ

x1 = -2.5 - 4.33012701892219*i

x2 = 5.0

x3 = -2.5 + 4.33012701892219*i

График