x^3=x+24 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3=x+24

Вы ввели

 3         
x  = x + 24

$$x^{3} = x + 24$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} = x + 24$$
преобразуем
$$\left(- x + \left(1 x^{3} - 27\right)\right) + 3 = 0$$
или
$$\left(- x + \left(1 x^{3} - 3^{3}\right)\right) + 3 = 0$$
$$- (x - 3) + 1 \left(x^{3} - 3^{3}\right) = 0$$
$$1 \left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right) - \left(x - 3\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -3 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 3\right) \left(1 \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right) - 1\right) = 0$$
или
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 8\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 3$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 3 x + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (1) * (8) = -23

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для x^3 - (x - 24) = 0:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 3

$$x_{1} = 3$$

               ____
       3   I*\/ 23 
x2 = - - - --------
       2      2    

$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}$$

               ____
       3   I*\/ 23 
x3 = - - + --------
       2      2    

$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ____             ____
          3   I*\/ 23      3   I*\/ 23 
0 + 3 + - - - -------- + - - + --------
          2      2         2      2    

$$\left(\left(0 + 3\right) - \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /          ____\ /          ____\
    |  3   I*\/ 23 | |  3   I*\/ 23 |
1*3*|- - - --------|*|- - + --------|
    \  2      2    / \  2      2    /

$$1 \cdot 3 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{23} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{23} i}{2}\right)$$

=

24

$$24$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -24$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -1$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -24$$

Численный ответ

x1 = 3.0

x2 = -1.5 - 2.39791576165636*i

x3 = -1.5 + 2.39791576165636*i

График