x^8-16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8-16=0

Вы ввели

 8         
x  - 16 = 0

$$x^{8} - 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} - 16 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[8]{x^{8}} = \sqrt[8]{16}$$
$$\sqrt[8]{x^{8}} = \left(-1\right) \sqrt[8]{16}$$
или
$$x = \sqrt{2}$$
$$x = - \sqrt{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = sqrt2

Получим ответ: x = sqrt(2)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -sqrt2

Получим ответ: x = -sqrt(2)
или
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = 16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 16$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{2}$$
$$z_{2} = \sqrt{2}$$
$$z_{3} = - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} i$$
$$z_{5} = -1 - i$$
$$z_{6} = -1 + i$$
$$z_{7} = 1 - i$$
$$z_{8} = 1 + i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt{2} i$$
$$x_{5} = -1 - i$$
$$x_{6} = -1 + i$$
$$x_{7} = 1 - i$$
$$x_{8} = 1 + i$$

Быстрый ответ

        ___
x1 = -\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt{2}$$

       ___
x2 = \/ 2 

$$x_{2} = \sqrt{2}$$

          ___
x3 = -I*\/ 2 

$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$

         ___
x4 = I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt{2} i$$

x5 = -1 - I

$$x_{5} = -1 - i$$

x6 = -1 + I

$$x_{6} = -1 + i$$

x7 = 1 - I

$$x_{7} = 1 - i$$

x8 = 1 + I

$$x_{8} = 1 + i$$

Численный ответ

x1 = -1.0 - 1.0*i

x2 = 1.0 + 1.0*i

x3 = 1.4142135623731*i

x4 = 1.0 - 1.0*i

x5 = -1.4142135623731*i

x6 = -1.0 + 1.0*i

x7 = -1.4142135623731

x8 = 1.4142135623731

График