x^8+24=0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^8+24=0
Решение
Подробное решение
$$x^{8} + 24 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = -24 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = -24$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = -24$$
где
$$r = \sqrt[8]{24}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{6} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{7} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{8} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = - \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt[8]{24} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[8]{24} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{7} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{8} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[8]{6} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
___________ ___________
/ ___ / ___
8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2
x1 = - \/ 24 * / - - ----- + I*\/ 24 * / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2
x2 = \/ 24 * / - - ----- - I*\/ 24 * / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2
x3 = - \/ 24 * / - + ----- - I*\/ 24 * / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2
x4 = \/ 24 * / - + ----- + I*\/ 24 * / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2
|2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - + ----- 2 *\/ 6 * / - - -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x5 = I*|--------------------------- + ---------------------------| + --------------------------- - ---------------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2
|2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x6 = I*|--------------------------- - ---------------------------| + --------------------------- + ---------------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2
|2 *\/ 3 * / - + ----- 2 *\/ 3 * / - - ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x7 = I*|--------------------------- - ---------------------------| - --------------------------- - ---------------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2
| 2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x8 = I*|- --------------------------- - ---------------------------| + --------------------------- - ---------------------------
\ 2 2 / 2 2
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___
___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2
/ ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ |2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - + ----- 2 *\/ 6 * / - - ----- |2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + ----- |2 *\/ 3 * / - + ----- 2 *\/ 3 * / - - ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + ----- | 2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + -----
8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
- \/ 24 * / - - ----- + I*\/ 24 * / - + ----- + \/ 24 * / - - ----- - I*\/ 24 * / - + ----- + - \/ 24 * / - + ----- - I*\/ 24 * / - - ----- + \/ 24 * / - + ----- + I*\/ 24 * / - - ----- + I*|--------------------------- + ---------------------------| + --------------------------- - --------------------------- + I*|--------------------------- - ---------------------------| + --------------------------- + --------------------------- + I*|--------------------------- - ---------------------------| - --------------------------- - --------------------------- + I*|- --------------------------- - ---------------------------| + --------------------------- - ---------------------------
\/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 =
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | |2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | |2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | |2 *\/ 3 * / - + ----- 2 *\/ 3 * / - - ----- | | 2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | I*|--------------------------- + ---------------------------| + I*|--------------------------- - ---------------------------| + I*|--------------------------- - ---------------------------| + I*|- --------------------------- - ---------------------------| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
произведение
/ / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\
| | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ |
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 | | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 | | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 | | | 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 7/8 8 ___ / 1 \/ 2 | 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 3/4 8 ___ / 1 \/ 2 |
| / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | |2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - + ----- 2 *\/ 6 * / - - ----- | | |2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + ----- | | |2 *\/ 3 * / - + ----- 2 *\/ 3 * / - - ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + ----- | | | 2 *\/ 3 * / - - ----- 2 *\/ 3 * / - + ----- | 2 *\/ 6 * / - - ----- 2 *\/ 6 * / - + ----- |
| 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 | |8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 | | 8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 | |8 ____ / 1 \/ 2 8 ____ / 1 \/ 2 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 |
|- \/ 24 * / - - ----- + I*\/ 24 * / - + ----- |*|\/ 24 * / - - ----- - I*\/ 24 * / - + ----- |*|- \/ 24 * / - + ----- - I*\/ 24 * / - - ----- |*|\/ 24 * / - + ----- + I*\/ 24 * / - - ----- |*|I*|--------------------------- + ---------------------------| + --------------------------- - ---------------------------|*|I*|--------------------------- - ---------------------------| + --------------------------- + ---------------------------|*|I*|--------------------------- - ---------------------------| - --------------------------- - ---------------------------|*|I*|- --------------------------- - ---------------------------| + --------------------------- - ---------------------------|
\ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /=
24
Численный ответ
[src]
x1 = 0.569332617776004 + 1.37449052733621*i
x2 = 1.37449052733621 - 0.569332617776004*i
x3 = -1.37449052733621 - 0.569332617776004*i
x4 = -1.37449052733621 + 0.569332617776004*i
x5 = -0.569332617776004 - 1.37449052733621*i
x6 = 1.37449052733621 + 0.569332617776004*i
x7 = 0.569332617776004 - 1.37449052733621*i
x8 = -0.569332617776004 + 1.37449052733621*i