x^8=256 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8=256

Вы ввели

 8      
x  = 256

$$x^{8} = 256$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} = 256$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = \sqrt[8]{256}$$
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = \sqrt[8]{256} \left(-1\right)$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = 256$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 256$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{3} = - 2 i$$
$$z_{4} = 2 i$$
$$z_{5} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{6} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{7} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{8} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - 2 i$$
$$x_{4} = 2 i$$
$$x_{5} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$x_{6} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$x_{7} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$x_{8} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

x3 = -2*I

$$x_{3} = - 2 i$$

x4 = 2*I

$$x_{4} = 2 i$$

         ___       ___
x5 = - \/ 2  - I*\/ 2 

$$x_{5} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$

         ___       ___
x6 = - \/ 2  + I*\/ 2 

$$x_{6} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

       ___       ___
x7 = \/ 2  - I*\/ 2 

$$x_{7} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$

       ___       ___
x8 = \/ 2  + I*\/ 2 

$$x_{8} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
0 - 2 + 2 - 2*I + 2*I + - \/ 2  - I*\/ 2  + - \/ 2  + I*\/ 2  + \/ 2  - I*\/ 2  + \/ 2  + I*\/ 2 

$$\left(\left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(\left(\left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) + \left(\left(\left(\left(-2 + 0\right) + 2\right) - 2 i\right) + 2 i\right)\right) - \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right)\right)\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
1*-2*2*-2*I*2*I*\- \/ 2  - I*\/ 2 /*\- \/ 2  + I*\/ 2 /*\\/ 2  - I*\/ 2 /*\\/ 2  + I*\/ 2 /

$$2 i - 2 i 1 \left(-2\right) 2 \left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$

=

-256

$$-256$$

Численный ответ

x1 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i

x2 = -1.4142135623731 + 1.4142135623731*i

x3 = 1.4142135623731 - 1.4142135623731*i

x4 = 2.0

x5 = 2.0*i

x6 = -1.4142135623731 - 1.4142135623731*i

x7 = -2.0

x8 = -2.0*i

График