- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- z^3=-i
- x*14=72
- -27*x=8
- x*+x-42=0
- -х²+75х+574=0
- (х^2-4х)/(х-9)=0
- Сумма корней:
- (-2)*x^2-18=0
- x^2+7*x-4=0
- 4*x^4-11*x^2-9*x-2=0
- 2*x^3-9*x^2+15*x-8=0
- 20*x^2-x-1=0
- (3*x-5)/(x-2)=(7-4*x)/(x-2)
- Произведение корней:
- tan(x-pi/4)=-1
- (x^2-10)/(x+2)=3*x/(x+2)
- x^2-11*x+28=0
- 14805/x=705
- x^3=11
- (6*x-16)^2-5*(6*x-16)+6=0
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- -5*x+3*y=6
- 2*x+9*y=13
- -13*x-6*y=-18
- 6*x-10*y=-9
- 9*x-1*y=5
- -9*x-8*y=0
- График функции y =:
- x^8
- -1
- Производная:
- x^8
- -1
- Интеграл:
- x^8
- -1
Идентичные выражения
- x^ восемь =- один
- х в степени 8 равно минус 1
- х в степени восемь равно минус один
- x8=-1
- x⁸=-1
Похожие выражения
- x^8+3x^4-4=0
- -5*x^4-1=0
- x^8=+1
- -7x+4=2x-14
- 2*sqrt(2)*cos(x^8+x^7+1)=3
- 6х-12=5х+4
- x^8=17
- Информация для покупателей
x^8=-1 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^8=-1
Решение
Подробное решение
$$x^{8} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$z_{7} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$z_{8} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
$$x_{7} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2}$$
$$x_{8} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
x1 = - / - - ----- + I* / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
x2 = / - - ----- - I* / - + -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
x3 = - / - + ----- - I* / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 ___________ ___________
/ ___ / ___
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2
x4 = / - + ----- + I* / - - -----
\/ 2 4 \/ 2 4 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2
|\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x5 = I*|---------------------- + ----------------------| + ---------------------- - ----------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2
|\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x6 = I*|---------------------- - ----------------------| + ---------------------- + ----------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2
|\/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x7 = I*|---------------------- - ----------------------| - ---------------------- - ----------------------
\ 2 2 / 2 2 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2
| \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + -----
| \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
x8 = I*|- ---------------------- - ----------------------| + ---------------------- - ----------------------
\ 2 2 / 2 2
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________ / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___ | / ___ / ___
___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2
/ ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ |\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - ----- |\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- |\/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + -----
/ 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4
0 + - / - - ----- + I* / - + ----- + / - - ----- - I* / - + ----- + - / - + ----- - I* / - - ----- + / - + ----- + I* / - - ----- + I*|---------------------- + ----------------------| + ---------------------- - ---------------------- + I*|---------------------- - ----------------------| + ---------------------- + ---------------------- + I*|---------------------- - ----------------------| - ---------------------- - ---------------------- + I*|- ---------------------- - ----------------------| + ---------------------- - ----------------------
\/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \/ 2 4 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 =
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | |\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | |\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | |\/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - ----- | | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | | \/ 2 4 \/ 2 4 | I*|---------------------- + ----------------------| + I*|---------------------- - ----------------------| + I*|---------------------- - ----------------------| + I*|- ---------------------- - ----------------------| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
произведение
/ / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\ / / ___________ ___________\ ___________ ___________\
| | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ | | | / ___ / ___ | / ___ / ___ |
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ / ___________ ___________\ | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | | | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 | ___ / 1 \/ 2 ___ / 1 \/ 2 |
| / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | / ___ / ___ | | |\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - ----- | | |\/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | | |\/ 2 * / - + ----- \/ 2 * / - - ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | | | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- | \/ 2 * / - - ----- \/ 2 * / - + ----- |
| / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | / 1 \/ 2 / 1 \/ 2 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 | | | \/ 2 4 \/ 2 4 | \/ 2 4 \/ 2 4 |
1*|- / - - ----- + I* / - + ----- |*| / - - ----- - I* / - + ----- |*|- / - + ----- - I* / - - ----- |*| / - + ----- + I* / - - ----- |*|I*|---------------------- + ----------------------| + ---------------------- - ----------------------|*|I*|---------------------- - ----------------------| + ---------------------- + ----------------------|*|I*|---------------------- - ----------------------| - ---------------------- - ----------------------|*|I*|- ---------------------- - ----------------------| + ---------------------- - ----------------------|
\ \/ 2 4 \/ 2 4 / \\/ 2 4 \/ 2 4 / \ \/ 2 4 \/ 2 4 / \\/ 2 4 \/ 2 4 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /=
1
Численный ответ
[src]
x1 = 0.38268343236509 - 0.923879532511287*i
x2 = -0.923879532511287 + 0.38268343236509*i
x3 = 0.923879532511287 - 0.38268343236509*i
x4 = 0.923879532511287 + 0.38268343236509*i
x5 = -0.38268343236509 - 0.923879532511287*i
x6 = -0.38268343236509 + 0.923879532511287*i
x7 = -0.923879532511287 - 0.38268343236509*i
x8 = 0.38268343236509 + 0.923879532511287*i
График